Flächendifferenz bei gleichem Umfang von Rechteck und Kreis

08.10.2008, 23:47	SatzMitX	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächendifferenz bei gleichem Umfang von Rechteck und Kreis Hallo Leute, diesmal beschäftigt mich die Frage, warum ein Rechteck und ein Kreis mit gleichem Umfang über einen Flächenunterschied verfügen. Besten Dank im voraus schonmal für eure plausible Antwort.
09.10.2008, 00:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleicher Umfang bedingt NICHT gleiche Fläche. Dazu braucht's nicht mal einen Kreis, denn schon bei zwei Rechtecken oder Rechteck und Quadrat stimmt das nicht mehr: Rechteck 1: a = 10, b = 6; u = 32, A = 60 Rechteck 2: a = 9, b = 7; u = 32, A = 63 Quadrat: a = 8; u = 32; A = 64 Die Kreisfläche hat überdies die Eigenschaft, dass sie nicht in ein rationales Verhältnis zu einer Quadratfläche gebracht werden kann. Das liegt an der Transzedenz der Kreiszahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ _________________________ Du kannst die Sache mit dem Kreis allgemein auch ganz einfach rechnerisch durchführen: Kreis: $\begin{eqnarray} u = 2r\pi \ \text{,} \ A = r^2\pi \end{eqnarray}$ Quadrat: $\begin{eqnarray} u = 2r\pi \ \text{,} \ a = \frac{r\pi}{2} \end{eqnarray}$ Berechne nun die Fläche A des Quadrates und vergleiche diese mit der Kreisfläche. mY+
09.10.2008, 01:07	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächendifferenz bei gleichem Umfang von Rechteck und Kreis $\begin{eqnarray} U=2r\pi\to A=\frac{U^2}{4\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U=2(a+b)\to A=a(\frac{U}{2}-a) \end{eqnarray}$ wenn du nun annimmst, beide flächen seien gleich groß, bekommst du eine quadratische gleichung für a mit der lösung $\begin{eqnarray} a=\frac{U}{4}\pm\sqrt{\frac{U^2}{16}-\frac{U^2}{4\pi}} \end{eqnarray}$ der ausdruck unter der wurzel ist aber $\begin{eqnarray} D<0 \end{eqnarray}$ . also liefert die annahme einen widerspruch. der kreis hat also einen grüßeren flächeninhalt als das rechteck/quadrat bei gleichem unfang. die flächendifferenz ist D (für das quadrat), hoffentlich

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