[DGL] Lösung einer exakten Differentialgleichung

12.07.2006, 19:35

°°Ben³

[DGL] Lösung einer exakten Differentialgleichung

Hallo,
könnte mir vielleicht jemand erklären, wie ich eine exakte Differentialgleichung löse?

Also ich weiß, dass ich zuerst auf Exaktheit prüfen muss, weil ich sonst mit integrierenden Faktoren arbeiten muss, aber gehen wir mal davon aus, dass die DGL exakt ist, also M_y = N_x.

In den Büchern, die ich hier habe ist das alles irgendwie .. ähm .. komisch erklärt. Also ich steig nicht so wirklich hinter den Lösungsweg.

Was muss ich wann machen?
Wäre super, wenn mir das jemand zutragen könnte.

Danke. Grüße, Ben.

12.07.2006, 21:19

sax

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RE: [DGL] Lösung einer exakten Differentialgleichung
Also eine exakte dgl ist eine dgl der Form
$\begin{eqnarray*} p(y,x) + q(x,y) y' =0 \end{eqnarray*}$
wenn eine Funktion F(y,x) existiert, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{F}}{\partial x} = p(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{F}}{\partial y} = q(x,y) \end{eqnarray*}$
Wenn wir F(x,y) nach x ableiten erhalten wir(Kettenregel):
$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx}=\frac{\partial{F}}{\partial x} + \frac{\partial{F}}{\partial y} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$
(Da ist wieder der unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung wichtig man sollte noch beachten das y nur von x abhängt)
mit den beiden Gleichungen oben erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dx} = p(y,x)+q(x,y)y'(x) = 0 \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} F(y(x),x)=konst \end{eqnarray*}$
Das ist eine implizite darstellung dr Funktion y(x).
Als eifaches Beispiel könnte man die DGL
$\begin{eqnarray*} 1+y'=0 \end{eqnarray*}$
nehmen.
wir haben:
$\begin{eqnarray*} p(y,x) = 1 \; q(y,x)=1 \end{eqnarray*}$
F ist dann
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=x+y=C \end{eqnarray*}$
Wobei C eine konstante ist.
stellen wir nach y um erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} y=C-x \end{eqnarray*}$
als Lösung

12.07.2006, 21:28

°°Ben³

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RE: [DGL] Lösung einer exakten Differentialgleichung
Hallo,

Zitat:

Original von sax
Als eifaches Beispiel könnte man die DGL
$\begin{eqnarray*} 1+y'=0 \end{eqnarray*}$
nehmen.
wir haben:
$\begin{eqnarray*} p(y,x) = 1 \; q(y,x)=1 \end{eqnarray*}$
F ist dann
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=x+y=C \end{eqnarray*}$

das verstehe ich nicht. verwirrt

Wie kommst du denn jetzt auf F(x,y)? Integrierst du irgendwas, oder wie?

Danke.
Grüße, Ben.

12.07.2006, 21:53

sax

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In dem Fall habe ich F(x,y)=x+y geraten,
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} =1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y} =1 \end{eqnarray*}$
Aber vom Prinzip her kannst du auch integrieren
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x}=p(x,y) \rightarrow F=\int p(x,y) dx + g(y)+C \end{eqnarray*}$
hier:
$\begin{eqnarray*} F=x+g(y) \end{eqnarray*}$
wobei g(y) irgendeine Funktion von y aber nicht von x ist
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F} {\partial y}=q(x,y) \rightarrow F=\int q(x,y) dy + h(x)+C \end{eqnarray*}$
wobei h(x) wieder eine beliebige Funktion von x aber nicht von y ist.
hier:
$\begin{eqnarray*} F=y+h(x)+C \end{eqnarray*}$
Die beiden Gleichungen mußt du dann noch entsprechend zusammenbasteln.
Also folgt, da F jedesmal das selbe sein muß, h(x)=x und h(y)=y.
also
$\begin{eqnarray*} F=x+y \end{eqnarray*}$

13.07.2006, 05:26

°°Ben³

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Danke, fein erklärt.

*yippieh* Freude

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