Bernoullische Ungleichung?

09.10.2008, 08:23

Bredl

Bernoullische Ungleichung?

Morgen!

Ich hab auch mal wieder ne Aufgabe parat:

$\begin{eqnarray*} 3 > (\frac{n + 1}{n})^3 \end{eqnarray*}$
für n Element von N und n > 3

Damit ist dann durch Induktion zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} 3^n > n^3 \end{eqnarray*}$
für n Element von N und n > 3

Ich vermute das man im ersten Teil über die Bernoullische Ungleichung zum Ziel kommt, funktioniert bei mir aber nich so wie ich mir das vorstelle traurig

09.10.2008, 08:47

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Die Ungleichung gilt übrigens nicht nur für $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ , sondern sogar für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Bredl
Ich vermute das man im ersten Teil über die Bernoullische Ungleichung zum Ziel kommt, funktioniert bei mir aber nich so wie ich mir das vorstelle traurig

Du denkst viel zu kompliziert:

Wenn $\begin{eqnarray*} a_n := \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \end{eqnarray*}$ bezeichnet, dann ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=3,4,\ldots} \end{eqnarray*}$ monoton fallend (warum?).

Das Maximum ist somit das erste Folgenglied. Es ist also lediglich $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ auszurechnen und festzustellen, dass dieser Wert kleiner als 3 ist - dann trifft das wegen der Monotonie auch auf den Rest der Folge zu.

09.10.2008, 10:24

Bredl

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oh ... ja, stimmt ^^

danke!

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