ln(a)-a = ln(b)-b |
| 29.05.2004, 21:59 | henrik | Auf diesen Beitrag antworten » |
| ln(a)-a = ln(b)-b Wollt mal fragen ob ihr wisst wie man ln(a)-a = ln(b)-b a != b lösen könnte. Da ln(x)-x zwischen 0 und 1 monoton steigend ist und zwischen 1 und oo monoton fallend und lim x-> 0 ln(x)-x = -oo und lim x->oo ln(x)-x = -oo muss es ja für jedes a < 1 ein b > 1 geben. Vielen Dank im vorraus |
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| 29.05.2004, 23:12 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diese Gleichung ist nicht allein mithilfe in der Schule bekannter Funktionen auflösbar. Man benötigt dafür Lamberts W-Funktion, auch Omega-Funktion genannt. Sie ist die Umkehrfunktion von f(x) = x*exp(x) im rechten Monotoniebereich. |
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| 30.05.2004, 03:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde sagen, die Lösungsmenge {(a,b): ln(a) - a = ln(b) - b} ist die 45°-Achse und ein Arsch, der dadrauf sitzt. 
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| 30.05.2004, 12:42 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Indem man die Gleichung nach a auflöst, bekommt man zu jedem b das passende a: ln(a)-a=ln(b)-b exp(ln(a)-a)=exp(ln(b)-b) a/exp(a)=b/exp(b) -a*exp(-a)=-b*exp(-b) -a=W(-b*exp(-b)) a=-W(-b*exp(-b)) Setzt man hier ein b>1 ein, bekommt man das zugehörige a<1. Möchte man jedoch ein b<1 eingesetzen und ein a>1 erhalten, muss man einen anderen Zweig der W-Funktion verwenden, die Lösung lautet dann a=-W_{-1}(-b*exp(-b)) Dieser ist ja nur für Argumente aus [-exp(-1);0[ reell, doch das ist hier gerade gegeben. |
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| 30.05.2004, 13:30 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast die 45°-Gerade als Lösungsmenge vergessen. |
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| 30.05.2004, 13:58 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die kommt jeweils raus, wenn man bei der 1. Lösung b<1 bzw bei der 2. b>1 einsetzt. |
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