Entwicklung einer Fourierreihe

09.10.2008, 15:57

shok

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Entwicklung einer Fourierreihe

schön guten tag...
hab mal ne frage ob ich das richtig gerechnet habe bin mir absolut nicht sicher
folgende funktion soll ich in eine fourierreihe entwickeln

f(x)= -x für -pi <=x<=0 und
x für 0 <=x<=pi

allgemeine Form ist ja:
F(x)=
$\begin{eqnarray*} \frac{a0}{2} + \sum_{k=1}^n~(ak*cos (kwx)+bk*sin(kwx)) \end{eqnarray*}$

so die Periode T ist ja in dem Beispiel pi
T=2pi
dann ist w=2pi/T = 2pi/2pi=1
eingesetzt in die allgemeine Form:

F(x)=
$\begin{eqnarray*} \frac{a0}{2} + \sum_{k=1}^n~(ak*cos (kx)+bk*sin(kx)) \end{eqnarray*}$

anschließend hab ich jetzt das ao bestimmt

allgemein gilt für ak:

ak= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{T} * \int_{-T/2}^{T/2}~f(t)*cos(kwt)~dt \end{eqnarray*}$

mit T= 2pi und w=1 und k=0

a0= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} * \int_{-\pi}^{\pi}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

da die funktion f(t) bei t=0 nicht deferenzierbar ist müssen wir das Integral aufteilen

a0= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} * (\int_{-\pi}^{0}~-t~dt+\int_{0}^{\pi}~t~dt) \end{eqnarray*}$

dann ergibt sich folgendes:

a0= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} * ([\frac{-t^2}{2}]_{-\pi}^0 + [\frac{t^2}{2}]_{0}^{\pi}) \end{eqnarray*}$

a0= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} * (\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^2}{2}) \end{eqnarray*}$

a0= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die Fourienreihe (siehe oben) ergibt sich:

F(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^n~(ak*cos (kx)+bk*sin(kx)) \end{eqnarray*}$

ist das jetzt eine Fourierreihe zur Funktion, die ich entwickeln sollte?

bitte um Hilfe, da ich mir wirklich nicht sicher bin

09.10.2008, 16:27

shok

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sorry habs vergessen zu erwähnen, dass die Periode mit 2pi gegeben war

09.10.2008, 16:41

tigerbine

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RE: Entwicklung einer Fourierreihe
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} -x & -\pi \leq x \leq 0 \\ +x & +0 < x \leq \pi \end{cases} \end{eqnarray*}$

Funktion ist achsensymmertrisch zur y-Achse => gerade Funktion => reine Cosinusreihe => N-te Partialsumme:

$\begin{eqnarray*} \fbox{$\displaystyle T_N^f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{j=1}^{N}a_j\cdot \cos(jx) $} \end{eqnarray*}$

Berechnung der Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} a_j=\frac{1}{\pi}~\int_{0}^{2\pi}~f(x)\cos(jx)~dx =\frac{1}{\pi}~\int_{-\pi}^{\pi}~f(x)\cos(jx)~dx \end{eqnarray*}$

Diese gilt es doch nun zu berechnen, oder? Möglichst in einer Darstellung in abhängikeit von j, damit man die Reihe

$\begin{eqnarray*} T_{\infty}^f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{j=1}^{\infty}~\Bigl( a_j\cdot \cos(jx) + b_j\cdot \sin(jx) \Bigr) =\lim_{N\to\infty}~T_{N}^f(x) \end{eqnarray*}$

angeben kann. Mit dem ersten hast du ja schon angefangen:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~(-x) \cdot\cos(0)~dx + \int_{0}^{-\pi}~x\cdot \cos(0)~dx \Bigr) = \pi \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

Nun eben weiter rechnen.

09.10.2008, 16:47

shok

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ok aber wie soll ich denn ak und bk berchnen
wenn es gegen unendlich gehen soll?

09.10.2008, 16:56

tigerbine

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Zitat:

Möglichst in einer Darstellung in abhängikeit von j, damit man die Reihe angeben kann

09.10.2008, 17:04

shok

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achso...
na bitte^^
also war das eigentlich richtig was ich da vorgetragen habe..
danke!!!

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09.10.2008, 17:13

shok

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bloß noch eine frage...
hab ich das jetzt richtig verstanden..
also muss man nur a0 ausrechen
die restlich aj und bj kann man auch ausrechnen, bringen einen nicht so viel, da es ja eine unendliche reihe ist und deshalb lässt man die aj und bj stehen, bei der angabe der fourierreihe?

09.10.2008, 17:17

tigerbine

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Nein. a_0 konkret, versuchen ein system hinter aj, bj zu finden. Ich habe dir da 50% ja schon verraten.

09.10.2008, 18:23

shok

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ja die einen 50% sind das bj=0
aber ich komme irgendwie auf keine allgemeine form von aj
denn für a1 gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}*( \int_{-\pi}^{0}~-t*cos(t)~dt+ \int_{0}^{\pi}~t*cos(t)~dt) \end{eqnarray*}$

oder anders:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}*2*(\int_{0}^{\pi}~t*cos(t)~dt) \end{eqnarray*}$

integriert bedeut das

a1= $\begin{eqnarray*} ([t*sin(t)+cos(t)]_{0}^\pi) *\frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

a1= $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$

und a2 kommt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}*2*(\int_{0}^{\pi}~t*cos(2t)~dt) \end{eqnarray*}$

und schließlich komm ich dann für a2=0

also irgendwie finde ich da keinen zusammenhang

bitte um weiter hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke

09.10.2008, 18:38

tigerbine

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Imho sieht es so aus...

$\begin{eqnarray*} a_j=\frac{1}{\pi}~\int_{-\pi}^{\pi}~f(x)\cos(jx)~dx \end{eqnarray*}$

also...

$\begin{eqnarray*} a_j=\frac{1}{\pi}~\int_{-\pi}^{\pi}~|x|\cos(jx)~dx =\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~-x\cos(jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \end{eqnarray*}$

Die beiden Summanden lassen sich imho zusammenfassen.

09.10.2008, 18:56

shok

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aso

aj= $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\pi} * (\int_{-\pi}^{\pi}~x*cos(j*x)~dx ) \end{eqnarray*}$

und das ist die rätsels lösung?

09.10.2008, 18:57

tigerbine

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Das ist imho die Aufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2008, 19:02

shok

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boah alles klar danke
sorry, dass es so lange gedauert hat
aber echt riesen dank, hab's gecheckt
und großes kompli ans forum und natürlich an die tigerbiene Augenzwinkern

Augenzwinkern

,
echt klasse!!!

09.10.2008, 19:06

tigerbine

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Ich hoffe du hast mich richtig verstanden, dass du die Integrale noch versuchen sollst auszurechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2008, 19:11

tigerbine

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Beispiel
Nicht an einzelnen Dingen stören, Beispiel steh in einem größeren Zusammenhan. Hier die Aufgabe, also f.

Zitat:

Original von tigerbine
Nach all diesen Rechnungen und Polynomen mit einen "T" oder "t" im Namen, sollen diese anhand eines Beispiels dargestellt werden. Es soll die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 & \text{für } x = 0 \\ -1 & \text{für } 0<x<\pi \\ 0 & \text{für } x = \pi \\ 1 & \text{für } \pi < x <2\pi \end{cases} \end{eqnarray*}$

approximiert werden, oder der Datensatz $\begin{eqnarray*} (x_k,f(x_k)) \end{eqnarray*}$ interpoliert werden.

Es gelte N = 4

$\begin{eqnarray*} x_0=0,\quad x_1=\frac{1}{2}\pi,\quad x_2=\pi,\quad x_3=\frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_0=0,\quad y_1=-1,\quad y_2=0,\quad y_3=\-1 \end{eqnarray*}$

Hier die Lösung:

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} T_4^f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{j=1}^{4}~\Bigl( a_j\cdot \cos(jx) + b_j\cdot \sin(jx) \Bigr) \end{eqnarray*}$

Da es sich um eine ungerade Funktion handelt, gilt nach 2d:

$\begin{eqnarray*} a_0=...=a_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Für die Koeffizienten b gilt:

$\begin{eqnarray*} b_j=\frac{1}{\pi}~\int_{0}^{2\pi}~f(x)\sin(jx)~dx =\frac{1}{\pi}(\int_{0}^{\pi}-\sin(jx)~dx+\int_{\pi}^{2\pi}\sin(jx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_j=-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(jx)~dx ) =\begin{cases} \frac{4}{j\pi} & \text{für j ungerade} \\ 0 & \text{für j gerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Somit lautet das gesuchte Polynom:

$\begin{eqnarray*} T_4^f(x)=-\frac{4}{\pi}\Bigl(\sin(x)+\frac{1}{3}\cdot \sin(3x)\Bigr) \end{eqnarray*}$

09.10.2008, 20:28

shok

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ich glaub ich sitz zu lange dran...

also
was richtig war:

$\begin{eqnarray*} aj=-\frac{1}{\pi} *(\int_{-\pi}^{\pi}~x*cos(j*x)~dx ) \end{eqnarray*}$

nun komm ich wenn ich das integral löse auf folgendes

[latex]aj=-\frac{1}{\pi}* [\frac{cos(j*x)+j*x*sin(j*x)}{j^2}]_{-\pi}^\pi [\latex]

jetzt muss man ja zwischen geradem j und ungeraden j unterscheiden

aber in beiden fällen kommt aj=0 raus

das kann aber net stimmen

09.10.2008, 21:09

shok

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sorry hab nen fehler

also!!!

wenn j gerade ist:

aj=0

wenn j ungerade ist

aj=-4/(pi*k^2)

klingt gut wie ich finde Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2008, 21:24

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} a_j &&=\frac{1}{\pi}~\int_{-\pi}^{\pi}~|x|\cos(jx)~dx \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~-x\cos(jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~-x\cos(-jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{2}{\pi}~\int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \end{eqnarray*}$

Das gilt es nun noch zu vereinfachen. http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration

$\begin{eqnarray*} v(x)=x,~v'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{1}{j}\sin(jx),~u'(x) =\cos(jx) \end{eqnarray*}$

Oder worauf gründest du deine Behauptung? Vorallemm warum kommen ja j und k drin vor? verwirrt

verwirrt

09.10.2008, 21:41

shok

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} *(\int_{0}^{\pi}~x*cos(j*x)~dx) \end{eqnarray*}$
naja dann kam ich auch schon drauf mit der partiellen integration!
will das jetzt nicht alles nochmal ausrechnen, aber am ende kommt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi}*([\frac{j*x*sin(j*x)+cos(j*x)}{j^2}]_{0}^\pi) \end{eqnarray*}$

jetzt muss man 2 fälle unterscheiden, denn der kosinus wechselt immer von 1 zu -1

deshalb
für j gerade:
$\begin{eqnarray*} aj= \frac{2}{\pi} *(\frac{1}{j^2}- \frac{1}{j^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} aj=0 \end{eqnarray*}$

für j ungerade:
$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *(-\frac{1}{j^2}- \frac{1}{j^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *(-\frac{2}{j^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aj=-\frac{4}{\pi*k^2} \end{eqnarray*}$

so komm ich auf meine behauptung

09.10.2008, 21:56

tigerbine

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Zitat:

naja dann kam ich auch schon drauf mit der partiellen integration!
will das jetzt nicht alles nochmal ausrechnen,

Überleg nur mal, wer hier was von wem möchte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir im Board haben das Vorrecht des Lesens, du als Fragender hast die Arbeit des Tippens. Ferner kann ich deine Stammfunktion im Moment adhoc nicht nachvollziehen.

09.10.2008, 22:24

shok

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tut mir leid...war nicht so gemeint Gott

Gott

sorry falls es falsch verstanden wurde
aber vielleicht hab ich auch nen fehler gemacht...will erklären was ich da gemacht habe, vllcht ist ja auch nicht ganz richtig

ausganssituation:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} *(\int_{0}^{\pi}~x*cos(j*x)~dx ) \end{eqnarray*}$

ok jetzt habe ich die partielle integration angewandt

f(x)=x
f'(x)=1

g(x)= (sin(x*j))/(j)
g'(x)=cos(x*j)

$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *(\int_{0}^{\pi}~x*cos(j*)~dx )=x*\frac{sin(j*x)}{j}- \int_{0}^{\pi}~\frac{sin(x*j)}{j}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *(\frac{x*sin(x*j)}{j}-[-\frac{cos(j*x)}{j^2}]_{0}^\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *([\frac{x*sin(x*j)}{j}+\frac{cos(j*x)}{j^2}]_{0}^\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} aj=\frac{2}{\pi} *( [\frac{x*j*sin(j*x)+cos(j*x)}{j^2}]_{0}^\pi) \end{eqnarray*}$

so kam ich auf die integration hoffe, dass es halbwegs nachvollziehbar ist
und das ich berichtigt werde, danke nochmal

09.10.2008, 22:51

tigerbine

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Würde ich anders schreiben, aber nun wird klarer, was du gemacht hast.

$\begin{eqnarray*} a_j &&=\frac{2}{\pi}~\int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \\ &&= \frac{2}{\pi} \cdot \Bigl( [x\cdot \frac{1}{j}\cdot \sin(jx)]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 1\cdot \frac{1}{j} \cdot \sin(jx) \Bigr) \\ &&= \frac{2}{\pi} \cdot \Bigl( [x\cdot \frac{1}{j}\cdot \sin(jx)]_0^{\pi} - \frac{1}{j} \cdot [-\frac{1}{j}\cdot \cos(jx)]_0^{\pi} \Bigr) \end{eqnarray*}$

Setzen wir nun die Grenzen ein, so fällt der Sinus weg.

$\begin{eqnarray*} a_j &&=\frac{2}{\pi} \cdot \Bigl( \frac{1}{j^2} \cdot \cos(j\pi) -\frac{1}{j^2} \cdot \cos(0) \Bigr) \\ && = \frac{2}{\pi} \cdot \Bigl( \frac{1}{j^2} \cdot \cos(j\pi) -\frac{1}{j^2} \Bigr) \end{eqnarray*}$

Der Cosinus wechselt zwischen -1 und +1 Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} a_j=\begin{cases} 0 & j = 2k \\ -\frac{4}{\pi \cdot j^2} & j =2k+1\end{cases} \end{eqnarray*}$

Sicher hattest du das schon gepostet, aber im Grunde musste ich es mir "selbst" aufschreiben, um dann die Geichheit festzustellen. Ich mag das nicht, und Korrektoren wohl auch nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2008, 23:07

shok

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ok kann mich nochmal für deine geduld bedanken!!!
echt nett und sorry wegen dem einen post...
Freude

Freude

09.10.2008, 23:08

tigerbine

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Wink

10.10.2008, 10:06

shok

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} a_j &&=\frac{1}{\pi}~\int_{-\pi}^{\pi}~|x|\cos(jx)~dx \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~-x\cos(jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{-\pi}^{0}~-x\cos(-jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{1}{\pi}~\Bigl(\int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx + \int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \Bigl) \\&&=\frac{2}{\pi}~\int_{0}^{\pi}~x\cos(jx)~dx \end{eqnarray*}$

hallo noch eine letzte frage ein ist mir nicht klar,
der übergang von 3. zur 4. zeile...
mir ist klar, dass wenn man die integrationsgrenzen vertauscht, dass man das integral *(-1) rechnen muss, bloß müsste dann nicht die obere grenze nicht -pi sein?

ansonten könnte man doch die zusammenfassung damit begründen, dass die funktion achsensymetrisch,oder?

10.10.2008, 11:37

tigerbine

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Vielleicht wird es so klarer:

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{-b}~f(x)~dx = -\int_{a}^{b}~f(-x)~dx=\int_{b}^{a}~f(-x)~dx \end{eqnarray*}$

Da die Funktion gerade ist

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(-x)~dx = \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

10.10.2008, 13:11

shok

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jup alles klar
danke Freude

Freude

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