vierseitige Pyramide Punktbestimmung

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Masn Auf diesen Beitrag antworten »
vierseitige Pyramide Punktbestimmung
Hallo Leute,

bin neu hier im Forum und ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Zu folgender Problemstellung hat mir die Suchfunktion nicht weitergeholfen:

Ich habe eine vierseitige Pyramide mit den Punkten ABCDE.

Gegeben sind die Punkte A D E sowie die Längen der Vektoren


Außerdem ist die vierseitge Grundfläche und das Dreieck ABC orthogonal.

Weiterhin gilt:



Anders ausgedrückt könnte man auch sagen, es handelt sich um ein dreiseitiges Prisma mit der Querschnittsfläche ABC, welche von einer schiefen Ebene ADE geschnitten wurde.

Gesucht sind die Punkte B und C.

Ich bin zwar in der Lage, alle Kantenlängen auszurechnen, doch viel weiter komme ich nicht. Es müsste zwei Lösungen geben, welche sich spiegelsymmetrisch zur Ebene ADE verhalten.

Zur Verfügung steht mir die Mathematische Formelsammlung von Lothar Papula.

Ich hoffe, ihr könnt mir einen Schubs in die richtige Richtung geben.

Gruß Martin
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vierseitige Pyramide Punktbestimmung
kannst du da die zahlenwert angeben.
das wäre einfacher, meine idee(n) zu überprüfen smile
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

hier ein paar Zahlenwerte. Entschuldige bitte die krummen Werte, aber mir fiel nichts anderes ein, als diese im CAD zu erstellen/ermitteln.

A(-10,687 / 18,511 / 15,354)
B(-12,996 / 9,119 / 17,896)
C(-13,993 / 12,12 / 8,41)
D(-5,532 / 9,582 / 6,717)
E(-3,645 / 6,314 / 16,026)

Hoffe, das hilft dir weiter.

Freundliche Grüße

Martin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betrachtung zweier Hilfspunkte erleichtern m.E. den Zugang zum Problem erheblich:

Das sind einmal der Fußpunkt des Lotes von auf , und zum anderen der Schnittpunkt der Parallele zu und durch mit der Strecke .

Und wenn ich mich nicht täusche, so gibt es bei allgemeiner Lage nicht nur zwei, sondern sogar vier Lösungen des Problems. verwirrt


Zitat:
Original von Masn
A(-10,687 / 18,511 / 15,354)
B(-12,996 / 9,119 / 17,896)
C(-13,993 / 12,12 / 8,41)
D(-5,532 / 9,582 / 6,717)
E(-3,645 / 6,314 / 16,026)

Hoffe, das hilft dir weiter.

Eigentlich nicht: Du gibst hier ja praktisch die Lösung B und C schon an, statt wie oben die drei Seitenlängen von AB, BC und AC.
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent

Eigentlich nicht: Du gibst hier ja praktisch die Lösung B und C schon an, statt wie oben die drei Seitenlängen von AB, BC und AC.


Hallo Arthur,

habe dummerweise folgende Angaben vergessen:



Die Angaben der Punkte B und C dienen lediglich zur Überprüfung der Rechnung.

Über deine sonstigen Anmerkungen muss ich mir erstmal den Kopf zerbrechen.

Danke schonmal soweit!

Gruß Martin

EDIT: Mit den 4 Lösungen hast du natürlich recht. Hatte in meinen Überlegungen bisher immer angenommen, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist, was aber nicht unbedingt der Fall sein muss. Deshalb war mir dies nicht aufgefallen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt mal nachgerechnet: Du hast da mit deinen Werten einen Sonderfall rausgesucht, wo zusätzlich gilt. In dem Fall gibt es tatsächlich nur zwei Lösungen - die andere ist

B = (-1,399 / 15,815 / 17,896)
C = (-3,500 / 18,179 / 8,409) .

Im allgemeinen sind es aber tatsächlich 4 Lösungen - allerdings nur zwei für die von mir angegebenen Hilfspunkte.

EDIT: Mit dem gleichseitigen Dreieck ABC hat das nichts zu tun - wohl aber mit der erwähnten Eigenschaft !
 
 
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann gilt:



Das dürfte mir weiterhelfen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur der letzte Teil:



Aber das Seitenverhältnis kannst du aus den drei gegebenen Seitenlängen berechnen, soweit ist das richtig.
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber eins habe ich immer noch nicht kapiert:

Wie komme ich vom Vektor auf den Vektor , wenn mir nur Betrag, aber nicht Richtung von Vektor bekannt sind? Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

In der Weise gar nicht. Aber so:

Aus der Kenntnis von , und ist die Höhe berechen- bzw. konstruierbar.

Aus der Orthogonalität folgt für das Lot und damit speziell auch und .

Daher ist Schnittpunkt folgender drei Kugeln:

Zwei "Thaleskugeln" über den Durchmessern und , und einer Kugel um mit dem Radius .


EDIT: Sorry, hatte mich verschrieben - es ist natürlich E statt C. Korrigiert.
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank Arthur! Gott

Die Kugeln waren der Knackpunkt. Zum Rechnen komme ich heute leider nicht mehr. Werde dann morgen nochmal Rückmeldung geben, ob alles geklappt hat. Aber zumindest ist der Lösungsweg jetzt klar. Freude

Gruß Martin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann bleibt mir nur noch die Entschuldigung an Werner, da ich ihm die schöne Arbeit weggenommen habe. Aber er wird's verschmerzen, da bleibt mehr Zeit für die Enkel oder zum Malen. smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Na dann bleibt mir nur noch die Entschuldigung an Werner, da ich ihm die schöne Arbeit weggenommen habe. Aber er wird's verschmerzen, da bleibt mehr Zeit für die Enkel oder zum Malen. smile


ja, ich habe mit philipp einen schönen tag verbracht -
einen sehr erholsamen ohne math

und noch ein ja, das ist eine schöne aufgabe
und in gedanken war ich auch bei den 3 kugeln smile
Masn Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte nur nochmal Rückmeldung geben:
Hab das ganze jetzt in Matlab gehackt und es läuft wie gewünscht.
Danke nochmal! smile
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