Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht... |
29.05.2004, 23:46 | Dodi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht... Ich versuche seit längerer Zeit das Volumen eines Ellipsoides mit der Gleichung mit Hilfe der Integralrechnung zu lösen. Kann mir jemand weiterhelfen??? Danke für jeden Beitrag, Dodi |
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30.05.2004, 00:58 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht... Ja, ich denke dazu lässt du einfach eine Ellipse der Form y² =b²*(1 - x²/a²) um die x-Achse rotieren ... |
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30.05.2004, 03:59 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für einen Punkt (x,y,z) auf dem Ellipsoid ist . Für konstantes finden wir jetzt die Punkte (x,y) heraus, so dass (x,y,z) auf dem Ellipsoid liegt. "Auf dem" bedeutet dabei "auf der Oberfläche". Es ist . Für konstantes z ist der Wert auf der rechten Seite ebenfalls konstant und liegt zwischen 0 und 1. Das heißt, es gibt , so dass . Dabei ist natürlich . Teilen wir durch , so folgt . Das ist eine Ellipse, deren Flächeninhalt A(z) du in deiner Formelsammlung nachschlagen kannst. So, und nun integrierst du A(z) von -c bis c. Heraus kommt das gewünschte Volumen. |
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30.05.2004, 11:52 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
Die Rotationsformeln sind meist ne gute Idee, leider ist dieser Ellipsoid im allgemeinen kein Rotationskörper. Das wäre er nur wenn z.B. a=b ist. Der Weg den WebFritzi vorschlägt, funktioniert zumindest theoretisch. Ob er tatsächlich gangbar ist, muss man sehen... (z.B. brauchst du "angebbare" Stammfunktionen) Hast du das probiert, WebFritzi? |
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30.05.2004, 12:49 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gibt es denn keine räumlichen, elliptischen Koordinaten? Ich dachte an etwas wie x=a*r*sin(alpha)*cos(beta) y=b*r*sin(alpha)*sin(beta) z=c*r*cos(alpha) mit beta aus [0;2pi], alpha aus [0;pi] und r aus [0;1] Könnte man nicht vielleicht in denen über diesen Bereich integrieren? Das müsste doch einfacher sein, als sich mit diesen Wurzelausdrücken rumzuplagen. Vielleicht probiere ich es nachher mal. Edit: Siehe Leopolds Beitrag. Man kann auch stur die Funktionaldeterminante dieser Koordinaten ausrechnen, man kommt auf a*b*c*r^2*sin(alpha) und wenn man berechnet, bekommt man das gleiche Ergebnis. |
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30.05.2004, 12:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Dodi Du hast dein Alter nicht angegeben, und so weiß ich nicht, welche Vorkenntnisse ich voraussetzen kann (Schüler/Student?). Der Weg von WebFritzi funktioniert auf jeden Fall. Es geht aber auch anders. Die Idee ist, daß ein Ellipsoid nichts anderes als eine in den drei Dimensionen mit verschiedenen Faktoren gestreckte Kugel ist. Betrachten wir in einem kartesischen uvw-Koordinatensystem die Einheitskugel K mit Volumen V(K) und in einem xyz-Koordinatensystem das Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c und Volumen V(E) Jetzt verzerren wir die Kugel über die Funktion Ersetzt man hiernach u,v,w in der Kugelgleichung durch x/a,y/b,z/c erhält man die Ellipsengleichung; es gilt also tatsächlich Und jetzt berechnet man V(E) mit Hilfe der Substitutionsregel für Bereichsintegrale: |
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30.05.2004, 13:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold: WOW, das stimmt sogar. Nur finde ich die Notation deiner Funktion nicht so gut. Man macht das i.A. so: . Ich habe meinen Weg mal gerechnet, und es kommt das gleiche raus.
Eine Stammfunktion von 1 und von z^2 zu finden ist eigentlich recht einfach. |
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30.05.2004, 14:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist der alte Streit, ob man die Quadratfunktion besser als f(x)=x² (bzw. mit Pfeilen) oder mit zwei Variablen als f: y=x² schreibt. Die Variablenschreibweise ist die historisch erste, später aber etwas in Verruf geraten. Ich wähle immer die Schreibweise, die meinem Empfinden nach dem Problem angemessen ist. Und, mein lieber WebFritzi, wenn wir schon einmal pingelig sind, dann auch richtig! Der Zuordnungspfeil wird links immer durch einen kleinen vertikalen Strich abgeschlossen. Tsss ... tsss ... tsss ... |
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30.05.2004, 15:30 | Dodi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, Ihr seid alle super. Hätte nie gedacht, dass ich in einem Forum so schnelle und hilfsbereite Mathe-Freaks finden würde! Danke! @Leopold:
Ich studiere an der FH Maschineningenieur im 2. Semester und bin 22 Jahre alt. Wünsche Euch allen einen guten Sonntag! Dodi |
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30.05.2004, 16:53 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
@SirJective fast richtig, ich hatte auch nur den Rotationskörper im Kopf, dachte --allerdings völlig unberechtigter Weise-- die nieder- geschriebene Ellipsoidformel sei nur aus rein formalen Grunden so allgemein gehalten und gemeint sei eh ein Drehellipsoid. hättest du c=b geschrieben anstatt a=b dann hätte ich ganz richtig gesagt, anstatt fast richtig . . |
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30.05.2004, 19:52 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
SirJective sagt: Wenn a=b ist, dann ist der Ellipsoid ein Drehkörper. Nur deine Formel passt dann nicht :-p Außerdem schrieb er ja "z.B. a=b". |
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30.05.2004, 21:13 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... der dreht am falschen Rad *ggg* sag ihm er soll heute mal ausspannen, an was anderes denken ... |
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30.05.2004, 21:22 | knatterton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kombiniere: Das ist, damit es keine Rückwirkung hat, wenn der Pfeil vergiftet sein könnte. 8) Nick |
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30.05.2004, 22:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man weiß ja nie ... |
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31.05.2004, 00:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Leopold, ich weiß. Aber ich weiß nicht, wie der Pfeil in mimetex gemacht wird. Ich habs mit \mapsto (so gehts IMHO in LaTeX) versucht. Aber das ist das gleiche wie \to. |
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29.08.2007, 13:47 | xxxsemoi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gekrümmte Koordinaten Die gekrümmten Koordinaten findet man z.B. in der Veröffentlichung: Author: Eberlein, Giovanazzi, O'Dell Journal: arXiv:cond-mat/0311100 Date: 23 Aug. 2004 |
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29.08.2007, 13:50 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gekrümmte Koordinaten Hier der Link zu der Veröffentlichung: http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0311/0311100v2.pdf |
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29.08.2007, 13:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gekrümmte Koordinaten
Gab es irgendeinen sinnvollen Grund, diesen Thread aus dem Jahre 2004 wieder rauszukramen? Und was hatte der ursprüngliche Thread mit gekrümmten Koordinaten zu tun? |
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27.06.2009, 21:35 | blubbblalaber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ich bekomm als integral iwas mit log(z-c) wie soll ich da denn bitte von -c bis c integrieren. da ist der log leider nich definiert für. (oder soll ich den komplexen nehmen???) |
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27.06.2009, 21:50 | blubbblalaber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok gut wenn ichs umstelle und integriere bekomm ich das raus aber das macht auch nich so viel sinn. vor allen dingen wo soll da nen pi herkommen? a^2*b^2*((1/3)*z^3-2*c^2*z-c^4/z)/(c^2*(x^2*b^2+y^2*a^2)) nt((((a*a)*b*b)*(1-(z*z)/(c*c))*(1-(z*z)/(c*c)))/(((x*x)*b*b)*(z*z)/(c*c)+((y*y)*a*a)*(z*z)/(c*c)), z) |
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