Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...

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Dodi Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
Hallo

Ich versuche seit längerer Zeit das Volumen eines Ellipsoides mit der Gleichung mit Hilfe der Integralrechnung zu lösen. Kann mir jemand weiterhelfen???

Danke für jeden Beitrag,
Dodi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
Ja, ich denke dazu lässt du einfach eine Ellipse der Form

y² =b²*(1 - x²/a²) um die x-Achse rotieren ...


smile
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Punkt (x,y,z) auf dem Ellipsoid ist . Für konstantes finden wir jetzt die Punkte (x,y) heraus, so dass (x,y,z) auf dem Ellipsoid liegt. "Auf dem" bedeutet dabei "auf der Oberfläche". Es ist

.

Für konstantes z ist der Wert auf der rechten Seite ebenfalls konstant und liegt zwischen 0 und 1. Das heißt, es gibt , so dass

.

Dabei ist natürlich . Teilen wir durch , so folgt

.

Das ist eine Ellipse, deren Flächeninhalt A(z) du in deiner Formelsammlung nachschlagen kannst. So, und nun integrierst du A(z) von -c bis c. Heraus kommt das gewünschte Volumen.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
Zitat:
Original von Poff
Ja, ich denke dazu lässt du einfach eine Ellipse der Form

y² =b²*(1 - x²/a²) um die x-Achse rotieren ...
smile


Die Rotationsformeln sind meist ne gute Idee, leider ist dieser Ellipsoid im allgemeinen kein Rotationskörper. Das wäre er nur wenn z.B. a=b ist.

Der Weg den WebFritzi vorschlägt, funktioniert zumindest theoretisch. Ob er tatsächlich gangbar ist, muss man sehen... (z.B. brauchst du "angebbare" Stammfunktionen) Hast du das probiert, WebFritzi?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es denn keine räumlichen, elliptischen Koordinaten?
Ich dachte an etwas wie
x=a*r*sin(alpha)*cos(beta)
y=b*r*sin(alpha)*sin(beta)
z=c*r*cos(alpha)
mit beta aus [0;2pi], alpha aus [0;pi] und r aus [0;1]
Könnte man nicht vielleicht in denen über diesen Bereich integrieren? Das müsste doch einfacher sein, als sich mit diesen Wurzelausdrücken rumzuplagen. Vielleicht probiere ich es nachher mal.

Edit: Siehe Leopolds Beitrag. Man kann auch stur die Funktionaldeterminante dieser Koordinaten ausrechnen, man kommt auf
a*b*c*r^2*sin(alpha) und wenn man

berechnet, bekommt man das gleiche Ergebnis.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dodi

Du hast dein Alter nicht angegeben, und so weiß ich nicht, welche Vorkenntnisse ich voraussetzen kann (Schüler/Student?). Der Weg von WebFritzi funktioniert auf jeden Fall. Es geht aber auch anders.

Die Idee ist, daß ein Ellipsoid nichts anderes als eine in den drei Dimensionen mit verschiedenen Faktoren gestreckte Kugel ist.

Betrachten wir in einem kartesischen uvw-Koordinatensystem die Einheitskugel K mit Volumen V(K)



und in einem xyz-Koordinatensystem das Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c und Volumen V(E)



Jetzt verzerren wir die Kugel über die Funktion



Ersetzt man hiernach u,v,w in der Kugelgleichung durch x/a,y/b,z/c erhält man die Ellipsengleichung; es gilt also tatsächlich



Und jetzt berechnet man V(E) mit Hilfe der Substitutionsregel für Bereichsintegrale:



WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: WOW, das stimmt sogar. Nur finde ich die Notation deiner Funktion nicht so gut. Man macht das i.A. so:

.

Ich habe meinen Weg mal gerechnet, und es kommt das gleiche raus.

Zitat:
Der Weg den WebFritzi vorschlägt, funktioniert zumindest theoretisch. Ob er tatsächlich gangbar ist, muss man sehen... (z.B. brauchst du "angebbare" Stammfunktionen) Hast du das probiert, WebFritzi?

Eine Stammfunktion von 1 und von z^2 zu finden ist eigentlich recht einfach. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der alte Streit, ob man die Quadratfunktion besser als f(x)=x² (bzw. mit Pfeilen) oder mit zwei Variablen als f: y=x² schreibt. Die Variablenschreibweise ist die historisch erste, später aber etwas in Verruf geraten. Ich wähle immer die Schreibweise, die meinem Empfinden nach dem Problem angemessen ist.

Und, mein lieber WebFritzi, wenn wir schon einmal pingelig sind, dann auch richtig!

Der Zuordnungspfeil wird links immer durch einen kleinen vertikalen Strich abgeschlossen.

Tsss ... tsss ... tsss ...
Dodi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, Ihr seid alle super. Hätte nie gedacht, dass ich in einem Forum so schnelle und hilfsbereite Mathe-Freaks finden würde!

Danke! Big Laugh


@Leopold:
Zitat:
Du hast dein Alter nicht angegeben, und so weiß ich nicht, welche Vorkenntnisse ich voraussetzen kann (Schüler/Student?).


Ich studiere an der FH Maschineningenieur im 2. Semester und bin 22 Jahre alt.

Wünsche Euch allen einen guten Sonntag!

Dodi
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Volumen Ellipsoid gesucht...
Zitat:
Original von SirJective
Zitat:
Original von Poff
Ja, ich denke dazu lässt du einfach eine Ellipse der Form

y² =b²*(1 - x²/a²) um die x-Achse rotieren ...
smile


Die Rotationsformeln sind meist ne gute Idee, leider ist dieser Ellipsoid im allgemeinen kein Rotationskörper. Das wäre er nur wenn z.B. a=b ist.


@SirJective

fast richtig, ich hatte auch nur den Rotationskörper im Kopf,

dachte --allerdings völlig unberechtigter Weise-- die nieder-
geschriebene Ellipsoidformel sei nur aus rein formalen Grunden
so allgemein gehalten und gemeint sei eh ein Drehellipsoid.

hättest du c=b geschrieben anstatt a=b dann hätte ich ganz
richtig gesagt, anstatt fast richtig . Augenzwinkern

.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

SirJective sagt:

Wenn a=b ist, dann ist der Ellipsoid ein Drehkörper. Nur deine Formel passt dann nicht :-p
Außerdem schrieb er ja "z.B. a=b". smile
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... der dreht am falschen Rad *ggg*

sag ihm er soll heute mal ausspannen, an was anderes denken ...


smile
knatterton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Zuordnungspfeil wird links immer durch einen kleinen vertikalen Strich abgeschlossen

Kombiniere: Das ist, damit es keine Rückwirkung hat, wenn der Pfeil vergiftet sein könnte. 8)
Nick
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man weiß ja nie ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Leopold,
ich weiß. Aber ich weiß nicht, wie der Pfeil in mimetex gemacht wird. Ich habs mit \mapsto (so gehts IMHO in LaTeX) versucht. Aber das ist das gleiche wie \to.
xxxsemoi Auf diesen Beitrag antworten »
Gekrümmte Koordinaten
Die gekrümmten Koordinaten findet man z.B. in der Veröffentlichung:
Author: Eberlein, Giovanazzi, O'Dell
Journal: arXiv:cond-mat/0311100
Date: 23 Aug. 2004
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gekrümmte Koordinaten
Hier der Link zu der Veröffentlichung:

http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0311/0311100v2.pdf
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gekrümmte Koordinaten
Zitat:
Original von xxxsemoi
Die gekrümmten Koordinaten findet man z.B. in der Veröffentlichung:
Author: Eberlein, Giovanazzi, O'Dell
Journal: arXiv:cond-mat/0311100
Date: 23 Aug. 2004

Gab es irgendeinen sinnvollen Grund, diesen Thread aus dem Jahre 2004 wieder rauszukramen? verwirrt

Und was hatte der ursprüngliche Thread mit gekrümmten Koordinaten zu tun? verwirrt
blubbblalaber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für einen Punkt (x,y,z) auf dem Ellipsoid ist . Für konstantes finden wir jetzt die Punkte (x,y) heraus, so dass (x,y,z) auf dem Ellipsoid liegt. "Auf dem" bedeutet dabei "auf der Oberfläche". Es ist

.

Für konstantes z ist der Wert auf der rechten Seite ebenfalls konstant und liegt zwischen 0 und 1. Das heißt, es gibt , so dass

.

Dabei ist natürlich . Teilen wir durch , so folgt

.

Das ist eine Ellipse, deren Flächeninhalt A(z) du in deiner Formelsammlung nachschlagen kannst. So, und nun integrierst du A(z) von -c bis c. Heraus kommt das gewünschte Volumen.



ja ich bekomm als integral iwas mit log(z-c) wie soll ich da denn bitte von -c bis c integrieren. da ist der log leider nich definiert für. (oder soll ich den komplexen nehmen???)
blubbblalaber Auf diesen Beitrag antworten »

ok gut wenn ichs umstelle und integriere bekomm ich das raus aber das macht auch nich so viel sinn. vor allen dingen wo soll da nen pi herkommen? a^2*b^2*((1/3)*z^3-2*c^2*z-c^4/z)/(c^2*(x^2*b^2+y^2*a^2))




nt((((a*a)*b*b)*(1-(z*z)/(c*c))*(1-(z*z)/(c*c)))/(((x*x)*b*b)*(z*z)/(c*c)+((y*y)*a*a)*(z*z)/(c*c)), z)
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