Auffrischung der Integralkenntnisse ;)

13.07.2006, 16:56

openeye

Auffrischung der Integralkenntnisse ;)

Hallo,

Bei mir ist die letzte Integralrechnung schon fast 2 Jahre her und ich hab jetzt neulich ne Frage gestellt bekommen zu der ich die Antwort nicht wirklich finden konnte.

Kann mir evtl. jemand helfen, wie ich die Stammfunktion von f(x) = sqrt (1 + 4x^2) rauskriege?

Ich wäre euch sehr verbunden Augenzwinkern

Danke schön!

Viele Grüße

openeye

13.07.2006, 17:06

Calvin

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Mutig, nach so langer Zeit ein solches Integral anzugehen Augenzwinkern

Es geht mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}\sinh{u} \end{eqnarray*}$ bzw. in anderer Schreibweise $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}\left(e^u-e^{-u}\right) \end{eqnarray*}$

Wie weit kommst du denn mit diesem Tipp? Wie fit bist du noch im Thema "integrieren durch Substitution"?

13.07.2006, 18:06

openeye

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Hey!

wow die antwort war ja super schnell!

muss man nicht damit anfangen, u= den wurzel inhalt, daher u=1 + 4x^2 zu setzen und somit dann

u^(1/2) integrieren?

das wären dann ja (u^(3/2))/3/2 = 2/3 * u^(3/2)

seh ich das richtig so?

viele grüße

openeye

13.07.2006, 18:13

20_Cent

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nein, das geht nicht, da man das dx auch noch ersetzen muss, dafür braucht man die ableitung der substitutionsvorschrift. Diese hängt wieder von x ab, welches du dann durch u ersetzen musst, so kommst du also nicht weiter.
mfG 20

13.07.2006, 18:20

Fate

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Zitat:

Original von Calvin
Mutig, nach so langer Zeit ein solches Integral anzugehen Augenzwinkern

Wie kommt man denn dadrauf dass man das durch eine e-funktion oder durch einen trigonometrischen ausdruck substituiert???
der gedankengang ist mir völlig schleierhaft verwirrt

13.07.2006, 18:31

openeye

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Also laut nem integralrechner kommt da

1/4 * (2 * ( sqrt (4 * x² + 1) * x + sinh ^-1 * (2*x) )

Könnt ihr euch ja mal unter http://integrals.wolfram.com/index.jsp angucken.

wie man auf das ergebnis kommt weiß ich aber trotzdem nicht...

viele grüße

openeye

http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1/4%20%20(2%20%20(%20sqrt%20(4%20%20x%B2%20+%201)%20%20x%20+%20sinh%20^-1%20%20(2x)%20)

13.07.2006, 18:42

Fate

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und Derive hat nichts mit sinh raus sondern:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln (\sqrt{4x^2 +1} +2x)}{4} + \frac{x \sqrt{4x^2+1} }{2} +c \end{eqnarray*}$

hab aber wirklich keinen plan wie man dahinkommen soll...
böse

13.07.2006, 18:51

Calvin

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@Fate

in deinem letzten Ergebnis steht die alternative Schreibweise für arsinh (also die Umkehrfunktion von sinh). Kannst du dir auch bei Wikipedia mal anschauen.

Auf die Substitution kommt man mit ein bißchen Erfahrung. Man nutzt die Zusammenhänge $\begin{eqnarray*} \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[\sinh(x)\right]'=\cosh(x) \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich ein einfaches Integral.

@openeye

Wenn du substituierst, darf anschließend kein x mehr im Integral stehen. Das gilt auch für das dx am Ende. Deshalb muss das auch mitsubstituiert werden. Das macht man, indem man den Ausdruck aus der Substitution ableitet.

In diesem Fall $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}\sinh(u) \Rightarrow \frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\cosh(u) \end{eqnarray*}$ . Den letzten Ausdruck kann man nach dx auflösen. Danach setzt man alles ins Integral ein und bekommt ein "einfacheres" Integral.

13.07.2006, 18:59

Fate

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hab jetzt immernoch nicht verstanden wie man auf diesen substitutionsschritt kommt...
traurig

mhh liegt vll daran, dass ich mir im unterricht nur mal den graph der cosinus und sinus funktion nur angesehen habe und das wars dann auch schon...
und cosh kenn ich überhaupt nicht...
oh mann... da wird ncoh was auf mich zukommen wenn ich studieren will...

13.07.2006, 19:08

Calvin

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sinh und cosh (beides hyperbolische Funktionen) heißen so ähnlich wie cos und sin(trigonometrische Funktionen), weil sie ähnliche Eigenschaften haben. Definiert sind sie folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} \sinh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

Alles weitere dazu aber bitte in einem anderen Thread.

Und was die Substitution angeht: Hast du mal mit meinen Hinweisen aus diesem Thread versucht, das Integral zu lösen? Vielleicht wird dann ersichtlich, warum das eine sinnvolle Substitution ist. Wobei aber eine zusätzliche partielle Integration noch notwendig ist.

EDIT
Mach dir keine Sorgen für dein Studium. Alles, was ihr im Studium wissen müsst, wird dort auch besprochen (oder zumindest erwähnt)

13.07.2006, 19:11

openeye

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hm also irgendwie is das schon extrem hoch xD

ich hab vorher auch von sinh bzw. cosh noch nix gehört gehabt... gibts da evtl. gescheite lektüre sich gerad in den teil der integration einzulesen? weil ich versteh quasie nur bahnhof wenn von sinh und cosh die rede ist, weil ich nicht nachvollziehen kann wie man darauf kommt.

viele grüße

openeye

13.07.2006, 19:20

Fate

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Zitat:

Original von Calvin
sinh und cosh (beides hyperbolische Funktionen) heißen so ähnlich wie cos und sin(trigonometrische Funktionen), weil sie ähnliche Eigenschaften haben. Definiert sind sie folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} \sinh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh(x)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

Alles weitere dazu aber bitte in einem anderen Thread.

Und was die Substitution angeht: Hast du mal mit meinen Hinweisen aus diesem Thread versucht, das Integral zu lösen? Vielleicht wird dann ersichtlich, warum das eine sinnvolle Substitution ist. Wobei aber eine zusätzliche partielle Integration noch notwendig ist.

EDIT
Mach dir keine Sorgen für dein Studium. Alles, was ihr im Studium wissen müsst, wird dort auch besprochen (oder zumindest erwähnt)

Dass es eine sinnvolle substitution ist, glaube ich dir, meine frage ist:

wenn man diese funktion sieht, wie kommt man dann auf genau diesen substitutionsschritt? ...

(sorry, aber ich muss immer alles bis ins detail verstehen, bevor ich die gesamte aufgabe versteh...) Hammer

13.07.2006, 19:27

Calvin

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@openeye

geht es dir speziell um diese Aufgabe? Oder um Integralaufgaben allgemein? Du könntest für den Anfang versuchen, ein paar einfacherer Integrale zu lösen. Hier mal ein paar Beispiele, die verschiedene Integrationsmethoden beinhalten.

$\begin{eqnarray*} \int~3x^2+5x-\frac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~x\cdot \sin(x)\,dx \end{eqnarray*}$ (mit partieller Integration)
$\begin{eqnarray*} \int~2x\cdot e^{(x^2)}\,dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$

EDIT
@fate

Wenn du im Integral einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ax^2} \end{eqnarray*}$ hast, dann musst du so substituieren, dass danach $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sinh^2u}=\sqrt{\cosh^2u}=\cosh u \end{eqnarray*}$ dasteht. Das macht die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{a}}\sinh u \end{eqnarray*}$ . Man darf aber natürlich nicht vergessen, das dx zu ersetzen. Damit kürzt sich manchmal der cosh wieder raus (hier aber nicht Augenzwinkern

)

13.07.2006, 19:57

openeye

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also integration an sich ist mir nicht wirklich fremd und ich würd sagen dass ich damit auch so recht gut klar komme. es geht mir halt eigentlich konkret um das beispiel, weil ich nicht rausbekommen hab wie ich das mit der wurzel machen soll, bzw. wie ihr gezeigt habt mit dem cosh bzw. sinh zu substituieren.

viele grüße

openeye

13.07.2006, 19:59

Fate

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Zitat:

Original von Calvin

$\begin{eqnarray*} \int~3x^2+5x-\frac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~x\cdot \sin(x)\,dx \end{eqnarray*}$ (mit partieller Integration)
$\begin{eqnarray*} \int~2x\cdot e^{(x^2)}\,dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$

mhh ma schaun
Nummer1:

$\begin{eqnarray*} \int~3x^2+5x-\frac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^3+ \frac{5}{2} x^2- \int_{}{}~x^{-2}~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^3+ \frac{5}{2} x^2 - (-x^{-1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^3+ \frac{5}{2} x^2 + \frac{1}{x}+c \end{eqnarray*}$

Nummer 2:

$\begin{eqnarray*} \int~x\cdot \sin(x)\,dx \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} u=x & v= -cos(x) \\ u'=1 & v'= sin(x) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
ergibt sich nach der Regel der Produktintegration

$\begin{eqnarray*} -x cos(x)-\int_{}^{}~-cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-x cos(x)+\int_{}^{}~cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-x cos(x)+ sin(x) +c \end{eqnarray*}$

Nummer 3:

$\begin{eqnarray*} \int~2x\cdot e^{(x^2)}\,dx \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} z := x^2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x= \sqrt {z} \end{eqnarray*}$
und mit der ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=2x<=> dx= \frac{1}{2x}dz \end{eqnarray*}$
ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2\cdot \sqrt{z} \cdot e^z \cdot \frac{1}{2\sqrt{z}} ~dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~e^z \cdot \frac{2\sqrt{z}}{2\sqrt{z}} ~dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~e^z~dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{x^2} +c \end{eqnarray*}$

ich komm nciht so mit dem Latex-zeugs klar... traurig

(siehe Anzahl der editierungen)

Edit: oops, hab gerad nachgelesen und gemerkt dass die aufgaben nciht für mcih waren geschockt

13.07.2006, 20:14

Calvin

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Zitat:

Original von Fate
Edit: oops, hab gerad nachgelesen und gemerkt dass die aufgaben nciht für mcih waren geschockt

Ein bißchen Übung kann trotzdem nicht schaden Augenzwinkern

Und richtig waren auch alle

@openeye

Wenn du von sinh nicht kennst, dann nimm die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}(e^u-e^{-u}) \end{eqnarray*}$ . Das ist eine andere Schreibweise. Im Laufe der Rechnung brauchst du die zweite binomische Formel. Probiere es einfach mal aus smile

Ist dir denn das Prinzip der "Integration durch Substitution" geläufig?

13.07.2006, 20:14

Fate

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Zitat:

Original von Calvin

Wenn du im Integral einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ax^2} \end{eqnarray*}$ hast, dann musst du so substituieren, dass danach $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sinh^2u}=\sqrt{\cosh^2u}=\cosh u \end{eqnarray*}$ dasteht.

und genau das ist es, was ich eben nciht verstehe,... wieso MUSS nach der substitution das mit dem cosh rauskommen??

mhh entweder hab ich heute eine enorme Blockade oder ich kann das nciht verstehen weil ich niemals mit solchen funktionen umgegangen bin ...

sorry für's nerven, aber das interessiert mcih jetzt auch Gott

Zitat:

Original von Calvin
dann nimm die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}(e^u-e^{-u}) \end{eqnarray*}$ .

Mhh...
oky also substitution ging bei uns so, dass wir einen gesamten ausdruck zu einer variable zusammengefasst haben und dann die funktion mit der einen variable integriert haben...

bsp.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{2x^2+4x-8}~dx \end{eqnarray*}$
mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z:= 2x^2+4x-8 \end{eqnarray*}$
ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{z}~dz \end{eqnarray*}$

aber wie man jetzt dazu kommt die einzelne Variable X zu substituieren und das auch noch mit einem ausdruck der nciht in der eigentlichen funktion vorkommt, entzieht sich völlig meinem verständnis

13.07.2006, 20:20

Calvin

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@Fate

damit sich die Wurzel schön auflöst. Das ist mein Standardansatz bei Integralen dieser Art. Möglicherweise gibt es aber noch eine andere (mir unbekannte) Substitution zur Lösung des Integrals.

Probiere mal folgendes (ähnliche) Beispiel. Es unterscheidet sich nur in einem Vorzeichen. $\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1-4x^2}\,dx \end{eqnarray*}$ . Probiere es mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}\sin u \end{eqnarray*}$ . Damit hast du den dir unbekannten cosh umgangen, aber eine vollkommen analoge Aufgabe zu rechnen. Vielleicht bringt dir das ein bißchen mehr Verständnis. Nutze dazu den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2x=1 \end{eqnarray*}$

13.07.2006, 20:24

Calvin

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Zitat:

Original von Fate
bsp.
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{2x^2+4x-8}~dx \end{eqnarray*}$
mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z:= 2x^2+4x-8 \end{eqnarray*}$
ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{z}~dz \end{eqnarray*}$

Du hast dx nicht richtig ersetzt. Schau dir nochmal genau an, wie du bei der letzten der 3 von mir gestellten Aufgabe das dx ersetzt hast. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{2x^2+4x-8}~dx \end{eqnarray*}$ ist nicht lösbar (umgangssprachlich ausgedrückt)

13.07.2006, 20:27

Fate

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ich weiß dass ich das dx nicht ersetzt habe, sollte aber nur ein beispiel sein wie ich das meinte...

ich habe nie eine einzelne variable ersetzt sondern immer einen gesamten ausdruck

war n dummes beispiel, sorry... aber wollte jetz nicht überlegen wie und wo es hinkommen könnte ...

13.07.2006, 20:32

Calvin

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Zitat:

Original von Fate
ich habe nie eine einzelne variable ersetzt sondern immer einen gesamten ausdruck

Es gibt zwei verschiedene "Arten" zu substituieren.

Wenn du wie von dir beschrieben einen ganzen Ausdruck mit u ersetzt, dann ist das in der Art $\begin{eqnarray*} u=f(x) \Rightarrow \frac{du}{dx}=f'(x) \end{eqnarray*}$

Du kannst aber auch die Variable x durch einen Ausdruck ersetzen. Dann ist es in der Art $\begin{eqnarray*} x=f(u) \Rightarrow \frac{dx}{du}=f'(u) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das war jetzt nicht zu verwirrend für euch Augenzwinkern

13.07.2006, 20:35

Fate

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also noch einmal

also das ist echt schwer...
$\begin{eqnarray*} subst: x=1/2 sin(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx/du=0,5cos(u) <=> dx= \frac {1}{2} cos(u) du \end{eqnarray*}$

damit erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac {1}{2} cos(u) \sqrt{1- sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac {1}{2} \int_{}^{}~ cos(u) \sqrt{1- sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$

also ich würde jetzt hier die partielle integration anwenden?
wäre das klug oder eher nciht ???

sorry, ich weiß dass ich mcih dämlich anstelle und dass es nerven kann traurig

13.07.2006, 20:36

Calvin

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Zitat:

Original von Fate
$\begin{eqnarray*} subst: x=1/2 sin(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du/dx=0,5cos(u) <=> dx= \frac {2}{cos(u)} \end{eqnarray*}$

Es muss $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} \end{eqnarray*}$ heißen. Siehe auch mein letztes Posting

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~ \frac {2}{cos(u)} \sqrt{1-4(1/4 sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{}^{}~ \frac {2}{cos(u)} \sqrt{1- 4 sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$

Was ist denn $\begin{eqnarray*} 4\cdot \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel?

@openeye

ich weiß, dass es hier ziemlich durcheinander ist. Ich hoffe, du läßt dich nicht entmutigen und läßt dir deine Fragen hier auch beantworten smile

13.07.2006, 20:48

Fate

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mhh toll... ich hab vergessen dass es 1/4 MAL sin.. ist und dacht jetz das wäre plus, sorry...

also noch einmal

also das ist echt schwer...
$\begin{eqnarray*} subst: x=1/2 sin(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx/du=0,5cos(u) <=> dx= \frac {1}{2} cos(u) du \end{eqnarray*}$

damit erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac {1}{2} cos(u) \sqrt{1- sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac {1}{2} \int_{}^{}~ cos(u) \sqrt{1- sin^2(u))} ~du \end{eqnarray*}$

also ich würde jetzt hier die partielle integration anwenden?
wäre das klug oder eher nciht ???

sorry, ich weiß dass ich mcih dämlich anstelle und dass es nerven kann traurig

mir tut es auch furchtbar leid für openeye...

13.07.2006, 20:50

Calvin

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Nutze unter der Wurzel den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \sin^2 u + \cos^2u=1 \end{eqnarray*}$ . Danach darfst du partiell integrieren Augenzwinkern

13.07.2006, 21:03

Fate

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asoo jetz hab ich verstanden worauf du hinauswillst
$\begin{eqnarray*} sin^2(u)+cos^2(u)=1 <=> cos^2(u)= 1-sin^2(u) <=> cos(u)= \sqrt{1-sin^2(u)} \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{}^{}~cos^2(u)~du \end{eqnarray*}$

und mit partieller integration folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(u)\cdot cos(u)}{4}+ \frac{u}{4} \end{eqnarray*}$

13.07.2006, 21:44

Fate

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mhh ich hab mir das in einem Analysis Lehrbuch angesehen und glaube das sooo langsam zu verstehen...

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{2x}~dx \end{eqnarray*}$

damit die 2 im exponenten wegfällt, substituiere ich $\begin{eqnarray*} x= \frac {1}{2} u \end{eqnarray*}$ und ändere das differential nach $\begin{eqnarray*} dx= \frac {1}{2} du \end{eqnarray*}$

damit erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \cdot \int_{}^{}~e^{u}~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac {1}{2} \cdot e^{u} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x= \frac {1}{2} u <=> u= 2x \end{eqnarray*}$ folgt letzten endes

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

ist das Prinzip denn richtig???
wenn ja, dann hab ichs kapiert... ist aber ziemlich umständlich bei größeren funktionen herauszubekommen welche substitution sinnvoll ist...

13.07.2006, 21:57

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, der Weg ist zwar umständlich aber richtig. Integrale von der Form wie du sie gerade gelöst hast, kann man direkt lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{mx+b}~dx= \frac{1}{m}e^{mx+b}~ \end{eqnarray*}$

Die regel gilt natürlich nur dann, wenn der Exponent linear ist.

Integrale zu lösen kann ja generell sehr mühsam werden und bei komplizierten Integralen die richtige Substitution zu finden ist noch eine größere Kunst. Wenn du dich intensiv damit beschäftigst, dann wirst du irgendwann schnell eigene Substitutionsideen entwicklen und prüfen, ob die was bringen

13.07.2006, 22:05

Fate

Auf diesen Beitrag antworten »

mhh...
also substitution mach ich eigentlich schon seit 2 jahren, aber ich habe immer ganze ausdrücke in eine variable zusammengefasst und nciht eine variable durch einen ganzen ausdruck ersetzt,...
das ist nämlich genau das gegenteil...

aber jetzt versteh ich auch seit 2 jahren endlich die form

Int[ f(g(t))*g'(t) ] dt

oky, danke, ihr habt mir sehr geholfen!!!!

und demnächst werde ich erst schlaue bücher lesen und dann nerven LOL Hammer

14.07.2006, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Calvin
damit sich die Wurzel schön auflöst. Das ist mein Standardansatz bei Integralen dieser Art. Möglicherweise gibt es aber noch eine andere (mir unbekannte) Substitution zur Lösung des Integrals.

Ja, einen anderen Weg gibt es durchaus. Ursprünglich ging es ja mal um die Aufgabe von openeye:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{1+4x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution x=u/2 kann man das auf die Lösung des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$ zurückführen.

Um das zu lösen, macht man erstmal eine längere Umformung:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sqrt{1+u^2} = \frac{2 \cdot (1+u^2)}{\sqrt{1+u^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1+u^2}{\sqrt{1+u^2}} + \frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{1+u^2} + u \cdot \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} + \frac{u + \sqrt{1+u^2}}{u + \sqrt{1+u^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{1+u^2} + u \cdot \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} + \frac{1 + \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}}{u + \sqrt{1+u^2}} \end{eqnarray*}$

Uff!
Eine Stammfunktion der beiden ersten Summanden ist $\begin{eqnarray*} F_1(u) = u \cdot \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$ .
Beim letzten Summanden steht die Ableitung vom Nenner im Zähler.
Deswegen ist da eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F_2(u) = ln(u + \sqrt{1+u^2}) \end{eqnarray*}$ .

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