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Lösen der kubischen Gleichung   -x³ - x² + 34x + 32 = 0 
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Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit -1 auf die Normalform 
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht. 

   x³ + x² - 34x - 32  = 0

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form 
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt. 

   (y - 0,3333333333333333)³ + (y - 0,3333333333333333)² - 34(y - 0,3333333333333333) - 32 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

   p = s - r²/3 = -34,333333333333336
   q = 2r³/27 - rs/3 + t = -20,59259259259259

   y³ - 34,333333333333336y - 20,59259259259259  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

   p = -34,333333333333336            q = -20,59259259259259

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden. 

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, 
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, 
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen. 

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen. 

Im Falle dieser Gleichung ist R = -1392,925925925926. 

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist, 
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt. 

   cos(w) = 0,26594324206764414   u = 38,716141896462915

   y  = 6,139031275648025
    1
   y  = -5,532756304262204
    2
   y  = -0,6062749713858242
    3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. 
r=1 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. 
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

   x  = -5,866089637595537
    1
   x  = -0,9396083047191554
    2
   x  = 5,805697942314692
    3