sin(x) ersetzen durch Parabel

10.10.2008, 15:13

FabianHC

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sin(x) ersetzen durch Parabel

Hi zusammen,

ich habe jetzt zum Wintersemester angefangen zu studieren und letzte Woche hatten wir einen Mathe-Vorkurs. Ich habe auch soweit alles verstanden bis auf folgende Aufgabe, die ich euch bitten würde mir zu erklären!!

Die Sinusfunktion y=sin(x) ist im Intervall $\begin{eqnarray*} 0\leq x~\leq pi \end{eqnarray*}$ durch eine Parabel zu ersetzen, die mit ihr in den beiden Nullstellen und dem Extremwert (Maximum) übereinstimmt. Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Parabel?

Die Lösung ist $\begin{eqnarray*} y=(-4/pi^2)*x^2+(4/pi)*x \end{eqnarray*}$

Und den Ansatz weiß ich auch schon:

1. Man setzt in die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ die Nullstellen 0 und Pi ein, da gilt: $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(Pi)=0 \end{eqnarray*}$
2. Man setzt in die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} y'=2ax+b \end{eqnarray*}$ den Hochpunkt $\begin{eqnarray*} pi/2 \end{eqnarray*}$ ein, da gilt: $\begin{eqnarray*} f'(Pi/2)=1 \end{eqnarray*}$
3. Nun muss man das ganze auflösen, hier komme ich aber nicht weiter und gelange nicht zu der vorgegebenen Lösung!
Oder habe ich vlt. den falschen Ansatz?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Fabian

10.10.2008, 15:19

tigerbine

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RE: sin(x) ersetzen durch Parabel
Polynominterpolation, z.B. Kannst aber auch für Monome ein LGS aufstellen... Erinnere dich an Steckbriefaufgaben in der SChule.

code:

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Newton-Darstellung  
===============================================================================================
 
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
         0         0    0.6366   -0.4053
    1.5708    1.0000   -0.6366         0
    3.1416         0         0         0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         +    0 
         + 0.63662 * [x - 0]   
         - 0.405285 * [x - 0] [x - 1.5708]   
 
Weiter mit beliebiger Taste
 
Monom-Darstellung  
===============================================================================================
 
p_ 2(x)= 
 
     + 0 * x^0     + 1.27324 * x^1     - 0.405285 * x^2

10.10.2008, 15:21

FabianHC

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Das mit dem LGS habe ich probiert, komme aber immer auf so Lösungen wie 0=1 oder Pi=0, irgendwas mache ich da falsch...

10.10.2008, 15:23

tigerbine

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Wir haben doch 3 Punkte, durch die das Ding gehen muss:

$\begin{eqnarray*} (0/0),~(\frac{\pi}{2} / 1),~(\pi/0) \end{eqnarray*}$

Im Steckbrieflink findest du, wie das LGS aussehen muss. Zeig mal.

10.10.2008, 15:26

FabianHC

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Mein erstes Gleichungssystem würde so aussehen:

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*pi^2+b*pi+c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*a*(pi/2)+b=1 \end{eqnarray*}$

10.10.2008, 15:31

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0.25\pi^2 & 0.5\pi & 1 \\ \pi^2 & \pi & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\b\\c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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10.10.2008, 15:34

WebFritzi

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RE: sin(x) ersetzen durch Parabel

Zitat:

Original von FabianHC
2. Man setzt in die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} y'=2ax+b \end{eqnarray*}$ den Hochpunkt $\begin{eqnarray*} pi/2 \end{eqnarray*}$ ein, da gilt: $\begin{eqnarray*} f'(Pi/2)=1 \end{eqnarray*}$

Nein, das ist kompletter Unsinn. Erstens ist natürlich $\begin{eqnarray*} \sin'(\pi/2) = 0, \end{eqnarray*}$ und zweitens bringt es gar nichts in die erste Ableitung einzusetzen. Du musst in die Funktion einsetzen.

10.10.2008, 15:37

FabianHC

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Hm...ich weiß leider nicht wie der Gausalgorithmus funktioniert, ich kenne das nur mit umformen der Gleichung und dann Variablen eliminieren. Aber ich werde mich mal versuchen in deinen Link einzulesen! Danke schonmal

10.10.2008, 15:40

FabianHC

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RE: sin(x) ersetzen durch Parabel

Zitat:

Nein, das ist kompletter Unsinn. Erstens ist natürlich $\begin{eqnarray*} \sin'(\pi/2) = 0, \end{eqnarray*}$ und zweitens bringt es gar nichts in die erste Ableitung einzusetzen. Du musst in die Funktion einsetzen.

Ok, da war ich mir auch nicht sicher, also müssen alle Punkte in die y-Gleichung eingesetzt werden.

10.10.2008, 15:43

WebFritzi

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Ja.

10.10.2008, 15:47

FabianHC

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Ich habe es fast. Hab nur noch eine 3 zuviel im Nenner, sprich hab 4/(3*pi) anstatt 4/pi

10.10.2008, 15:51

FabianHC

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Ich habs, hatte ein Minus vergessen!!

Danke für eure Hilfe, wobei mir WebFritzi am meisten geholfen hat, da mein Ansatz schon falsch war und ich nun mit dem mir bekannten eliminieren im Gleichungssystem arbeiten konnte.

THX

Gruß

Fabian

10.10.2008, 16:06

Julian@mb

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Hallo, auch wenn das Thema wohl schon gelöst ist hätte ich so angesetzt:
y = a(x-0)(x-pi)
Damit hast du die beiden Nullstellen schon drin und musst nur noch das a mit der Bedingung (pi/2 ; 1) ausrechnen.

10.10.2008, 19:07

WebFritzi

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Ja, das ist am schlausten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2011, 23:08

mbct

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Sitze nun auch 3 Jahre nach Öffnung dieses Threads an dieser Aufgabe und kann sie nicht lösen.

Will es mit dem Ansatz versuchen: y= a(x-0)(x-pi)

Nun bräuchte ich a dass die Bedingung des Hochpunktes bei (pi/2 ; 1) erfüllt. Nur wie mache ich das. Hat jmd evtl einen Tipp für mich?

Gruß

11.01.2011, 00:50

mYthos

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Es sind erst 2 Jahre, aber macht nix.

Die Funktion ax(x - pi) hat für jedes a das Extremum bei pi/2. Das kannst du mal nachprüfen! Du musst vielmehr in die Funktionsgleichung den Punkt (pi/2; 1) einsetzen! Damit wird erst ein bestimmtes a gewonnen.

[ $\begin{eqnarray*} a = -\frac 4 {\pi^2} \end{eqnarray*}$ ]

"Der Vergleich macht Sie sicher!" Big Laugh

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