Zufallsvariablen addieren

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donvito Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen addieren
Kann mir mal einer von euch Gurus erklären, wie man Zufallsvariablen addiert bzw. was das ganze bezweckt? Wie kann man sich das vorstellen?

Bei der Berechnung der Kovarianz muss ich ja Kov(X,Y) = E((X-EX)(Y-EY)) berechnen und ich habe keinen Schimmer wie das vonstatten gehen soll. Einen Erwartungswert kann ich doch nur berechnen, wenn ich eine Verteilung habe. X und Y sind aber unterschiedlich verteilt...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollen jetzt zwei Fragen sein, die eine mit der Summe der Zufallsgrößen und die andere mit der Kovarianz, ja? Denn die beiden haben direkt nix miteinander zu tun.

Am besten nennst du mal die konkreten Problemstellungen. Denn das, was du dir da als Extrakt an Fragen zu diesen Problemstellungen überlegt hast, taugt m.E. nicht sehr viel - das muss ich so hart sagen. Z.B. spielt bei der Kovarianz die gemeinsame (!) Verteilung von X und Y eine Rolle, die Einzelverteilungen allein sind nicht genug!
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Die Aufgabe lautet
X,Y sind zwei stochastisch unabhäangige Zufallsvariablen.
X ist gleichverteilt auf [-2, 2].
Y ist binomialverteilt mit n = 27 und p = 1/9
Man berechne:
(a) Cov(Z1,Z2) für Z1 = X + 2Y und Z2 = 2X - Y
(b) p(Z1,Z2)

Hier muss man ja nun Zufallsvariablen addieren mir ist aber überhaupt nicht klar, wie dies bei unterschiedlichen Verteilungen vonstatten gehen soll.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, die darauf aufbauende Kovarianz folglich bilinear - das solltest du nutzen! Also in etwa so



Und dann gibt es ja noch ein paar Zusammenhänge:



für unabhängige


Ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr diese Eigenschaften nicht hattet. unglücklich


Ein Alternativweg über das genaue Ausrechnen der gemeinsamen Verteilung von und ist zwar möglich, aber als reiner Selbstmord einzustufen: Ich selbst würde da Stunden dazu brauchen, während die vorliegende Aufgabe (a) und (b) in weniger als 5 Minuten mit dem obigen Weg zu erledigen sind.
donvito Auf diesen Beitrag antworten »

Die Regeln unten kenne ich. Die oben jedoch nicht. Alerdings ist es auch nicht gesagt, dass wir das hatten, da die Aufgabe aus einer Klausur für Mathematiker stammt und nicht für Informatiker...

Also ohne dieses bilinear kann man die Aufgabe nicht lösen, oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hier muss man ja nun Zufallsvariablen addieren mir ist aber überhaupt nicht klar, wie dies bei unterschiedlichen Verteilungen vonstatten gehen soll.


Zufallsvariablen sind nichts weiter als Abbildungen. Und wie man Abbildungen addiert weisst Du ja. Nur mal als Beispiel, wir haben den Wahrscheinlichkeitsraum

und den Messraum . Jetzt haben wir zum Beispiel 2 Zufallsvariablen




und wir bilden



wenn man dass genauer aufschreibt hat man eigentlich



und dass ist Dir sicherlich klar wie man sowas addiert. Unterschiedliche Verteilungen heissen das wir auf den Mengensystemen F nur andere Maße definiert haben. Und damit kann man ganz analog zu oben addieren. Und wie man es mit Abbildungen so macht kann man auf diese Weise auch Komposition und andere Dinge betrachten. Und auch wenn Du den maßtheoretischen Hintergrund nicht kennst, so rufe Dir immer in Gedanken, dass es sich bei Zufallsvariablen eigentlich um Abbildungen handelt.
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donvito
Also ohne dieses bilinear kann man die Aufgabe nicht lösen, oder?

Es gibt hier Leute om Matheboard, die lieber stundenlange Diskussionen über sowas führen, statt die Ärmel hochzukrempeln und anzufangen. Das werde ich wohl nie kapieren... Also nochmal:

Diese Blinearität ist nix, was man besonders lernen muss, es ist eine einfache Folgerung aus der Defintion der Kovarianz in Verbindung mit der Linearität des Erwartungswertes.
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