unterschied zwischen binomialverteilung und normalverteilung

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che Auf diesen Beitrag antworten »
unterschied zwischen binomialverteilung und normalverteilung
hey leute,

keonnt ihr mir kurz den unterschied zwischen einer binomialen verteilung und einer normalverteilung erklaeren?

an welchen merkmalen einer aufgabe kann man feststellen mit was man es grad zu tun hat...

wuerde mir echt helfen,

gruss,
che
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der wohl größte Unterschied ist, dass die Binomialverteilung ein diskretes Verteilungsmodell ist, während die Normalverteilung eine stetige Funktion ist.

Wenn du also eine stetige Zufallsvariable gegeben hast, ist die Binomialverteilung ungeeignet.

Unter gewissen Bedingungen (n*p>5 und n*(1-p)>5) kann die Binomialverteilung nach Wahrscheinlichkeit an die Normalverteilung angenähert werden.
Dies ist besonders ratsam, wenn die die Verteilung von X, also P(X<x) oder ähnliches berechnen sollst.
Denn wenn du direkt über die Binomialverteilung rechnest, musst du möglicherweise über ziemlich viele Wahrscheinlichkeiten aufsummieren.
Alternativ kannst du die Wahrscheinlichkeit eben auch annähernd mit der Normalverteilung berechnen (bzw. den Wert in der Tabelle ablesen).

Ich hoffe das beantwortet deine Frage.
Wenn nicht, dann meld dich noch mal, vielleicht mit einer konkreten Aufgabenstellung.

Gruß
Anirahtak
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte Anirahtaks Antwort aufgreifen und durch ein Beispiel erläutern.

Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt mit den Parametern n,p (und q=1-p), dann liegt sozusagen der endliche Wahrscheinlichkeitsraum



zugrunde mit

.

Ist X dagegen standardnormalverteilt, so hat man den überabzählbaren Wahrscheinlichkeitsraum

,

wobei für jedes Intervall [a,b] gilt:

.

Und für große n liefern die standardisierte Binomialverteilung und die Standardnormalverteilung fast dieselben Wahrscheinlichkeitswerte.


Das war jetzt ziemlich abstrakt. Deswegen ein konkretes Beispiel.

Ein Meinungsforschungsinstitut möchte eine Wahlumfrage unter 1000 Befragten machen. Es interessiert die Frage, wieviel Prozent denn die SPD zur Zeit erreicht.
Da kann man sich eine Riesen-Urne vorstellen mit Millionen von Kugeln (den Menschen, die eine gültige Stimme abgeben wollen). Davon ist ein gewisser Prozentsatz rot (das sind die Wähler, die für die SPD stimmen wollen) und der Rest weiß (das sind die Wähler, die für eine andere Partei stimmen wollen). Den Befragungen entspricht das Ziehen von 1000 Kugeln aus der Urne. Eigentlich müßte man hier das Ziehen ohne Zurücklegen zugrundelegen. Bei solchen Riesen-Urnen wirkt sich der Unterschied zum Ziehen mit Zurücklegen aber erst ganz ganz weit hinter dem Komma aus. Wir legen also das rechnerisch viel einfachere Ziehen mit Zurücklegen zugrunde.
Jetzt unterstellen wir einmal, daß 30 % der Wähler tatsächlich SPD-Wähler sind, d.h. p=0,3. (Genau diese Zahl ist natürlich nicht bekannt. Insofern ist das Beispiel etwas theoretisch.) Dann wird man erwarten, daß von den n=1000 Befragten etwa µ=n·p=300 sagen werden: Ich wähle SPD. Aber es können natürlich auch ein paar weniger oder mehr sein (Zufallsrauschen). Und so könnte man sich für die Frage interessieren:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von den 1000 Befragten zwischen 28 % und 32 % für die SPD stimmen wollen.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist bekanntermaßen die Zufallsvariable

X = Anzahl der Erfolge (hier: Anzahl der SPD-Wähler)

binomialverteilt mit den Parametern n,p (hier: n=1000; p=0,3). Hier ist also die Wahrscheinlichkeit



gesucht. Mit dem Taschenrechner dürfte das schon kaum mehr gehen (es sei denn, man hat einen, bei dem Binomialverteilung programmiert ist). Ich habe den Wert einmal mit EXCEL berechnet. Die Formel lautet

=BINOMVERT(320;1000;0,3;WAHR)-BINOMVERT(279;1000;0,3;WAHR)

und liefert als Wert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0,842889673.


Und jetzt das Ganze mit der Normalverteilung. Das darf man zwar eigentlich nicht, aber n=1000 ist schon so groß, daß der Unterschied zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung nicht mehr ins Gewicht fallen dürfte. Man muß zunächst standardisieren. Wir haben



Und die Regel lautet, daß dann



ein guter Näherungswert für



ist. Mit EXCEL habe ich die Wahrscheinlichkeit jetzt mit der Normalverteilung berechnet. Die Formel ist

=NORMVERT((320,5-300)/14,49137675;0;1;WAHR)-NORMVERT((279,5-300)/14,49137675;0;1;WAHR)

Und ich habe als Wahrscheinlichkeit 0,842824184 erhalten. Und man sieht, daß die ersten vier Stellen hinter dem Komma schon übereinstimmen.
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