Umformung bei Summe bin.verteilter Zufallsvariablen

11.10.2008, 09:07

zwergnase

Umformung bei Summe bin.verteilter Zufallsvariablen

Hallo,

man hat zwei unabh. binomialverteilte Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ und soll zeigen das die Summe auch wieder binomialverteilt ist. Ist eigentlich nicht all zu schwer, nur am Anfang wird eine Umformung gemacht welche ich nicht nachvoll zeihen kann: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~[P(X+Y = k)] = \sum_{i=0}^k~[P(X=i \cap Y=k-i)] \end{eqnarray*}$ Warum darf man diese Umformung machen?

Gruß Wink

11.10.2008, 09:42

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Welche Möglichkeiten der Aufteilung gibt es denn, dass die Summe zweier natürlicher Zahlen gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist? Über genau diese Möglichkeiten wird hier summiert.

P.S.: Deine Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~[P(X=i)\cap P(Y=k-i)] \end{eqnarray*}$ ist übrigens unsinnig. Richtig ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k ~ P(X=i \cap Y=k-i) \end{eqnarray*}$ , und bei vorausgesetzter Unabhängigkeit dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k ~ P(X=i) \cdot P(Y=k-i) \end{eqnarray*}$ . Aber "Durchschitt zweier Wahrscheinlichkeitswerte", das geht überhaupt nicht. unglücklich

11.10.2008, 17:46

zwergnase

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Welche Möglichkeiten der Aufteilung gibt es denn, dass die Summe zweier natürlicher Zahlen gleich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist?

Könnte man nicht auch die Vereinigung nehmen?

P.S. Habe es editiert Danke!

11.10.2008, 18:25

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Zitat:

Original von zwergnase
Könnte man nicht auch die Vereinigung nehmen?

Völlig unüberlegt: Was sagt denn $\begin{eqnarray*} X=i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} Y=k-i \end{eqnarray*}$ über die Summe $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ aus? Gar nichts.

11.10.2008, 18:57

zwergnase

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Stimmt, ich gebe dir recht. Der Schnitt ist die einzige Möglichkeit.

11.10.2008, 19:01

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Genau. Wenn schon Vereinigung, dann die "außen" auf Ereignisebene:

$\begin{eqnarray*} [X+Y=k] = \bigcup\limits_{i=0}^k ([X=i] \cap [Y=k-i]) \end{eqnarray*}$

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