Borel-Mengen: offene/geschlossene Intervalle und Punkte

11.10.2008, 14:55	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-Mengen: offene/geschlossene Intervalle und Punkte Hi zusammen - hoffe ihr könnt mir mit einem Ruck in Richtung Verständnis verhelfen. Folgende Frage: Zeigen Sie, daß Intervalle der Form $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} [a, b] \end{eqnarray}$ sowie Punkte $\begin{eqnarray} \{a\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ Borel-Mengen sind. Ich habe als Student der VWL keinen blassen schimmer wie ich die Problemstellung angehen soll - bitte um Unterstützung... Cheers
11.10.2008, 15:36	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erzähl erstmal, wie ihr Borelmengen bzw. die Borel-Sigmaalgebra definiert habt! Es gibt da nämlich verschiedene Zugänge - und je nach Zugang sind die Beweise bzw. Begründungen im Detail anders.
11.10.2008, 20:51	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Borel-Menge - Borel-Algebra: Für $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ heißt die von der Menge aller halboffenen Quader $\begin{eqnarray} (a,b] := (a_{1},b_{1}]\times \cdot \cdot \cdot \times (a_{n},b_{n}] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{i} < b_{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{i}, b_{i} \in \mathbb R, \end{eqnarray}$ erzeugte $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra Borel-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{B}^n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ ; deren Elemente heissen Borel-Mengen. cheers
11.10.2008, 21:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das war wichtig - es gibt nämlich auch z.B. eine andere Definition, nach der die Borel-Sigmaalgebra von den offenen Mengen erzeugt wird... Versuch doch jetzt, alle diese deine Mengen als abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte solcher halboffenen Mengen darzustellen. Nach Definition bzw. einfachen Eigenschaften einer Sigma-Algebra müssen dann nämlich diese Vereinigungen oder Durchschnitte ebenfalls in der Borel-Sigmaalgebra liegen.

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