Nullmengen

15.07.2006, 13:11

o.B.d.A.

Nullmengen

Hallo zusammen! smile

Hab grad die Def einer Nullmenge gelesen und komm nicht so ganz damit zurecht. Erstmal die Def:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Nullmenge, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar viele abgeschlossene Intervalle $\begin{eqnarray*} I_1, I_2, ... \end{eqnarray*}$ gibt, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überdecken und für die $\begin{eqnarray*} \sum \mid I_j \mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Soweit so gut smile

Nur eigentlich ist es doch so, dass wegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid M \mid = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, oder?
Außerdem verstehe ich nicht ganz, was "höchstens abzählbar viele" für eine Relevanz hat. Damit ist doch eigentlich gemeint, dass man alle Intervalle $\begin{eqnarray*} I_j \end{eqnarray*}$ in eine Menge packt und diese höchstens abzählbar ist. D.h. doch, dass kein Element, endlich viele Elemente oder unendlich viele Elemente in der Menge enthalten sein können (da ja eine Menge mit unendlich vielen Elementen gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist). Somit verstehe ich einfach nicht, welchen Einfluss diese Bedingung hat. Es kann doch bspw nie vorkommen, dass diese Menge überabzählbar ist, oder?

VG

15.07.2006, 14:08

o.B.d.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullmengen
Ich habe nochmal in Ruhe nachgedacht... smile

Also...
Wenn ich das richtig sehe, sind nach der Def doch nur $\begin{eqnarray*} M = \varnothing \end{eqnarray*}$ und M = endliche Anzahl von Punkten aus R Nullmengen, da für alle anderen die Bedingung $\begin{eqnarray*} \sum \mid I_j \mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist.
Damit frage ich mich aber weiterhin das Folgende:

Zitat:

Original von o.B.d.A.
Außerdem verstehe ich nicht ganz, was "höchstens abzählbar viele" für eine Relevanz hat. Damit ist doch eigentlich gemeint, dass man alle Intervalle $\begin{eqnarray*} I_j \end{eqnarray*}$ in eine Menge packt und diese höchstens abzählbar ist. D.h. doch, dass kein Element, endlich viele Elemente oder unendlich viele Elemente in der Menge enthalten sein können (da ja eine Menge mit unendlich vielen Elementen gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist). Somit verstehe ich einfach nicht, welchen Einfluss diese Bedingung hat. Es kann doch bspw nie vorkommen, dass diese Menge überabzählbar ist, oder?

Viele Grüße

15.07.2006, 14:23

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullmengen

Zitat:

Original von o.B.d.A.
Ich habe nochmal in Ruhe nachgedacht... smile

Nein, es gibt insbesondere überabzählbare Nullmengen (ein Beispiel ist das Cantorsche Diskontinuum).

Du kannst dir zunächst in einem ersten Schritt überlegen, wieso zB $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist (Stichwort: geometrische Reihe).

Grüße Abakus smile

15.07.2006, 14:46

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullmengen

Zitat:

Original von o.B.d.A.
Nur eigentlich ist es doch so, dass wegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid M \mid = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, oder?

Verstehe die Frage nicht so recht. Die Aussage ist: "Egal wie klein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist, ich finde immer eine Überdeckung mit kleinerem Volumen (oder wie auch immer du |.| nennen willst Augenzwinkern

Zitat:

Das "höchstens abzählbar viele" kommt daher, dass man $\begin{eqnarray*} |I_j| \end{eqnarray*}$ aufsummiert und bei höchstens abzählbar vielen eine Reihe erhält.
Wie man die Summe bei überabzählbarer Summation erklärt/berechnet, ist ja erst einmal gar nicht klar (davon abgesehen, dass man $\begin{eqnarray*} [0,1]=\sum_{c \in [0,1]} c \end{eqnarray*}$ berechnen könnte, aber [0,1] soll ja gerade keine Nullmenge sein. Nun sind {c} natürlich keine Intervalle, wie in der Definition gefordert, aber vielleicht könnte man das geeignet konstruieren)

Gruß vom Ben

15.07.2006, 15:56

gast1

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich glaube, dass man die Forderung mit den höchstens abzählbar vielen Intervallen nur braucht, um die triviale Überdeckung durch einpunktige Intervalle auszuschließen (nach der mir bekannten Definition sind das Intervalle).
Lässt man keine einpunktigen Intervalle zu, muss die Überdeckung ohnehin durch abzähblar viele Intervalle erfolgen, da eine Summe über positive Zahlen nur für abzählbar viele Summanden einen endlichen Wert haben kann (zumindest nach der mir bekannten Definition für Summen über beliebige Indexmengen).

Gruß
gast1

15.07.2006, 16:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gast1
zumindest nach der mir bekannten Definition für Summen über beliebige Indexmengen

Da bin ich aber mal sehr neugierig: Wie sieht diese dir bekannte Definition für Summen über beliebige (insbesondere überabzählbare) Indexmengen aus?

16.07.2006, 13:01

gast1

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{x\in M}a_x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ heißt konvergent gegen $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , falls zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} F_{\epsilon}\subset M \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} |s-\sum_{x\in F}a_x|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für jede endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} F\subset M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_{\epsilon}\subset F \end{eqnarray*}$ gilt.

16.07.2006, 13:14

Auf diesen Beitrag antworten »

Interessantes Konzept, hab ich noch nie von gehört - man lernt halt nie aus. Danke! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Nullmengen

Verwandte Themen