Terme umformen.

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11.10.2008, 15:45	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Terme umformen. Hallo, ich gehe momentan in eine Einführungsklasse (Schüler mit mittlerer Reife) auf ein bayerisches Gymnasium. Uns allen fehlt (besonders mir, da ich Hauptschüler war [M-Zug]) viel Grundwissen. Zum Beispiel bekomme ich die Term-Umformung nicht in meinen Kopf. Ich weiß zwar WAS man alles machen kann (Ausklammern, Erweitern, Kürzen, Ausmultiplizieren, etc.) aber nicht WAS ich WANN anwenden muss. Ich wollte daher fragen, ob mir jemand anschaulich erklären kann, wie ich folgenden Term umformen muss, sodass ich es verstehe und auch später anwenden kann. $\begin{eqnarray} \frac{-a^2+a^3+2ab-2a^2b-b^2+ab}{a^2-ab-a+b} \end{eqnarray}$ Ich muss dazu sagen, dass mir bis jetzt nur DIESES Thema schwer fällt, unser jetziges Thema Gleichungen fällt mir super leicht (ich "liebe" Gleichungen [noch]). Ich hoffe, man weiß mir zu helfen. Viele Grüße, Alexander
11.10.2008, 15:52	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es ist ziemlich schwer zu erklären was genau man wo machen muss, da muss man einerseits ein Auge dafür haben, anderer seits auch ein bisschen ausprobieren. Im Nenner kannst du beispielsweise ein a der ersten beiden Summanden ausklammern, und eine -1 bei dem 3. und 4. Summanden. Anschließend sieht der Nenner schonmal schöner aus und man kann ihn noch weiter vereinfachen. Darauf kommt man auch durch ausprobieren: Versuch a im Nenner auszuklammern: $\begin{eqnarray} a^2-ab-a+b = a(a-b-1)+b \Rightarrow \text{führt zu nichts} \end{eqnarray}$ Dann Klammern wir eben nur das a der 1. beiden Summanden aus und sehen, dass uns das evlt. weiterbringen könnte. Nun weiter an die nächsten Summanden. Das selbe Spiel kann man im Zähler wiederholen. Erweitern und kürzen kann man soweiso erstmal ausschließen, da man nur Summanden im Zähler und Nenner hat. Auch mit ausmultiplizieren dürfte es hier schwierig werden Grüße
11.10.2008, 15:56	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Es GIBT eine einfache Lösung: $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ Man soll den Term möglichst weit vereinfachen.
11.10.2008, 16:01	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe niemals daran gezweifelt, dass man diesen Term nicht vereinfachen kann. Ich hab dir lediglich Tipps gegeben, wie du aus den Summanden Produkte machen kannst, die es dir erlauben zu kürzen. Denn anders ist die Aufgabe wohl nicht lösbar.
11.10.2008, 16:02	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das habe ich so gar nicht wahrgenommen.. Sorry Edit: Zwischenergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{a(-a+a^2+2b-2ab+b)-b^2}{a(a-b)-1(a+b)} \end{eqnarray}$ Und jetzt kürzen von a und -1 ??
11.10.2008, 16:13	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Summen kürzen nur die Dummen, diesen Spruch solltest du wohl kennen. Bevor du überhaupt anfangen kannst irgendetwas zu kürzen, muss der gesamte Bruch, also sowohl Zähler als auch Nenner als Produkt vorliegen. Auch das solltest du wissen. Ich schrieb, dass du im Nenner eine -1 vom 3. und 4. Summanden ausklammern sollst, du hast eine 1 ausgeklammert, und das bringt rein gar nichts, denn damit hast du nichts verändert. Außerdem: Wie willst du denn a und -1 kürzen? Grüße \Edit: Könnte es sein, dass die Aufgabe anstatt $\begin{eqnarray} \frac{-a^2+a^3+2ab-2a^2b-b^2+ab}{a^2-ab-a+b} \end{eqnarray}$ so lautet: $\begin{eqnarray} \frac{-a^2+a^3+2ab-2a^2b-b^2+ab^2}{a^2-ab-a+b} \end{eqnarray}$ ? (Das Quadrat beim b)
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11.10.2008, 16:18	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss es so heißen: $\begin{eqnarray} \frac{a(-a+a^2+2b-2ab+b^2)-b^2}{a(a-b)+1(-a-b)} \end{eqnarray}$ Oder? Edit: Ja, ich habe dir die falsche Angaben gegeben, deine Vermutung ist richtig.
11.10.2008, 16:24	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das habe ich mir schon gedacht. Bearbeite doch erstmal den Nenner, bevor du überhaupt etwas am Zähler veränderst. Außerdem hast du die -1 falsch ausgeklammert. Wenn du die Klammer "ausmultiplizierst" steht nicht das gleiche da, wie vorher, also hast du einen Fehler gemacht. Grüße
11.10.2008, 16:30	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, auf ein neues: Angabe: $\begin{eqnarray} \frac{-a^2+a^3+2ab-2a^2b-2b^2+ab^2}{a^2-ab-a+b} \end{eqnarray}$ Nenner faktorisieren: $\begin{eqnarray} a(a-b)+(-1)(a-b) \end{eqnarray}$ Oder?
11.10.2008, 16:36	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, jetzt ist es richtig. Der Nenner ist also $\begin{eqnarray} a(a-b)+(-1)(a-b) = a(a-b)-(a-b) \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du weiter ausklammern, sodass der gesamte Nenner aus einem Produkt mit 2 Faktoren besteht. Grüße
11.10.2008, 16:46	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich sehe nichts.
11.10.2008, 16:49	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zusätzlich (a-b) ausklammern.
11.10.2008, 16:55	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a-b)(a-1) \end{eqnarray}$ ?
11.10.2008, 17:03	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst durch ausmultiplizieren überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Jetzt hast du also die Darstellung $\begin{eqnarray} \frac{-a^2+a^3+2ab-2a^2b-2b^2+ab^2}{(a-b)(a-1)} \end{eqnarray}$ und jetzt gehts an den Zähler. Wie würdest du $\begin{eqnarray} -a^2+a^3+2ab-2a^2b-2b^2+ab^2 \end{eqnarray}$ faktorisieren? (Tipp: Such z. B. erstmal nach binomischen Formeln.) Grüße
11.10.2008, 17:18	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine habe ich gefunden: $\begin{eqnarray} -a^2+2ab+(a^2+b)^2-b^2-2b^2+ab \end{eqnarray}$ Edit: Nein, das ist falsch.... $\begin{eqnarray} (a^2)^2 = a^4 \end{eqnarray}$
11.10.2008, 17:18	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelpost...
11.10.2008, 17:31	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig erkannt. Stellen wir den Zähler mal ein bisschen um: $\begin{eqnarray} -a^2+a^3+2ab-2a^2b-2b^2+ab^2 = a^3-2a^2b+ab^2-a^2+2ab-2b^2 \end{eqnarray}$ Klammere jetzt das a der ersten 3 Summanden aus. Du musst schon ein bisschen selbst ausprobieren und mitarbeiten, ich kann dir nicht alles zeigen/vorrechnen, zumal das erklären hier auch ziemlich schwer ist.
11.10.2008, 17:36	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich arbeite ja mit, ich habe hier schon 5 Blätter mit Rechnungen vollgeschrieben..... a ausgeklammert: $\begin{eqnarray} a(a^2-2ab+b^2)-a^2+2ab-2b^2 \end{eqnarray}$
11.10.2008, 17:38	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt schau dir den Ausdruck in der Klammer nochmal genau an.
11.10.2008, 17:41	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, eine binomische Formel: $\begin{eqnarray} a[(a-b)^2]-a^2+2ab-2b^2 \end{eqnarray}$
11.10.2008, 17:48	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum steht da jetzt ein $\begin{eqnarray} 2b^2 \end{eqnarray}$ anstatt dem $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ ? Naja, also hast du: $\begin{eqnarray} a(a-b)^2-a^2+2ab-b^2 \end{eqnarray}$ Die letzten 3 Summanden solltest du dir auch mal ansehen.
11.10.2008, 17:56	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, leider (so viele Fehler, fast peinlich.... ) Jetzt kann ich die Aufgabe lösen, glaube ich: $\begin{eqnarray} a(a-b)^2-(a-b)^2 \end{eqnarray}$ Nun $\begin{eqnarray} (a-b)^2 \end{eqnarray}$ ausklammern: $\begin{eqnarray} (a-b)^2(a-1) \end{eqnarray}$ Der Term sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \frac{(a-b)^2(a-1)}{(a-b)(a-1)} \end{eqnarray}$ Nun (a-1) und (a-b) kürzen. Übrig bleibt: $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ Richtig so?
11.10.2008, 17:59	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du oben das Quadrat noch dazu schreibst, dann ist die Aufgabe richtig. Grüße
11.10.2008, 18:04	akrause	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich rechne Sie jetzt nochmal und versuche sie dabei zu verstehen! Ich GLAUBE, ich habe das jetzt verstanden.

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