Lineare Abhängigkeit von Vektoren

15.07.2006, 13:20

Spiggie

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Hallo...

ich habe hier die Aufgabe

a) Zeigen Sie durch Rechnung: Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, falls $\begin{eqnarray*} a*d=b*c \end{eqnarray*}$ .
b) Begründen Sie diese Aussage auch anschaulich.

Ich komme hier nicht mal auf einen Ansatz.

Hilfe

Spiggie

15.07.2006, 13:28

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung zu $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ ist hilfreich im Zusammenhang mit der Definition der linearen Abhängigkeit, nämlich wenn die Vektoren ein Vielfaches voneinander sind.

Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, dass die Vektoren linear abhängig sind, was mit der gezeigten Umformung recht gut geht.

Umgekehrt kannst du auch annehmen, die Vektoren sind linear abhängig und daraus $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ schliessen.

15.07.2006, 13:36

Spiggie

Auf diesen Beitrag antworten »

die umformung versteh ich ja noch ^^ aber ich versteh nicht, wie man damit die lineare Abhängigkeit beweisen kann...

Ich glaub, ich steh grad n bissl aufm Schlauch

15.07.2006, 13:49

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich seh ein, dass ich ein bisschen unpräzise war.
Die Umformung hast du verstanden, gut.
Wenn deine Vektoren linear abhängig sind, dann gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung lässt sich aufspalten:
$\begin{eqnarray*} a = t \cdot c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = t \cdot d \end{eqnarray*}$

Nun kannst du daraus, das Verhältnis herleiten, indem du das t eliminierst. Oder aber, formst das Verhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ nach einer Variable um und setzt das dann in die Gleichung ein.

15.07.2006, 14:03

Spiggie

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die Aufgabe praktisch gelöst, wenn ich sage:

Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ l.a. sein sollen, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =t*\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} a=t*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=t*d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{b}{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{c} =\frac{b}{d} \end{eqnarray*}$ , dann mach ich alles $\begin{eqnarray*} *c*d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a*d=b*c \end{eqnarray*}$

aber was mach ich jetzt bei der b)

15.07.2006, 14:43

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus $\begin{eqnarray*} a \cdot d = c \cdot b \end{eqnarray*}$ kann man auch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \end{eqnarray*}$ zaubern.

Und a bzw. c kann man in einem Koordinatensystem als $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ und b bzw. d als $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ anschreiben, wodurch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} = \frac{\Delta y_1}{\Delta x_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d}{c} = \frac{\Delta y_2}{\Delta x_2} \end{eqnarray*}$ entsteht.

Welche Bedeutung hat nur der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ allgemein in der Geometrie? Was bedeutet das für die Vektoren? Wie kannst du das für eine anschauliche Erklärung benutzen?

15.07.2006, 15:45

Spiggie

Auf diesen Beitrag antworten »

also, das deltay/deltax (ich finds nich im formeleditor) is ja normalerweise in der Geometrie die Steigung... aber weiter weiß ich jetzt auch nicht mehr... vllt, dass die vektoren somit die gleiche steigung haben. Somit sind sie ja dann auch l.a. ...

oder ist mir jetzt ein fehler unterlaufen?

15.07.2006, 17:09

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, das ist alle korrekt. Freude

Die Vektoren haben alle die gleiche Steigung und damit liegen sie auch auf einer Linie, sind also kollinear und schlussendlich auch linear abhängig.

Damit hat man dann eine anschauliche Erklärung.

15.07.2006, 20:36

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip anschaulich, aber falsch bzw. unvollständig.
Ist eines der beiden Vektoren die 0, oder ist a = 0 oder c = 0, gilt DIESER Ansatz nicht.
Also Vorsicht, wenn man durch Unbekannte teilt. Augenzwinkern

Im Prinzip kannst man das an dieser Stelle noch kurz extra zeigen...oder man kann einen besseren Beweis finden, zB mit Determinanten.
Wie ein wirklich guter Beweis ohne Determinanten aussieht, weiß ich grad nicht, will darüber aber nich wirklich nachdenken, da ich schon 5 Std Mathe gelernt habe heute...

MfG smile

15.07.2006, 22:04

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass das für a=0 bzw. c=0 nicht gilt, war mir durchaus bewusst (was natürlich jeder behaupten kann, nachdem er darauf aufmerksam gemacht wurde Big Laugh

).

Aber für a=0 oder c=0 ist diese Formel auch unnötig, da man dann sofort sehen kann, ob sie kollinear sind oder nicht.

Und wie ein solcher Beweis mit Determinaten funktioniert weiss ich gar nicht, da ich mit solchen Sachen so gut wie nie rechne.

15.07.2006, 23:05

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MrPSI
Ja, dass das für a=0 bzw. c=0 nicht gilt, war mir durchaus bewusst (was natürlich jeder behaupten kann, nachdem er darauf aufmerksam gemacht wurde Big Laugh

Achso, ich seh erst jetzt dein Alter.
Naja, jedenfalls ist der Beweis fast geschenkt, wenn man irgendwie Determinantentheorie hatte:

Für 2x2-Matrizen gilt:
$\begin{eqnarray*} \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt ganz allgemein für alle $\begin{eqnarray*} A \in M_{n \times n}(K) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \det A \neq 0 \Leftrightarrow A \end{eqnarray*}$ invertierbar.
Und wenn nun A invertierbar ist, sind ihre Spalten insbesondere linear unabhängig. Bzw. sind die Spalten von A linear abhängig, falls det(A) = 0.
Also folgt sofort: (a,b) und (c,d) linear abhängig genau dann, wenn ad-bc = 0

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Verwandte Themen