Untervektorraum

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Karli Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum
Hallo zusammen!
Ich habe bei folgender Aufgabe Mühe, sie zu lösen.

"Der Grad eines reellen Polynoms f = ist definiert als: deg(f): = min{n E N; für alle m E N: (m>n) --> (fm = 0)}

Man bezeichnet die Menge der Polynome bis einschliesslich Grad k E N durch



Zeigen Sie, dass für ein gegebenes k E N die Menge R[X]^{\leqk mit den induzierten Operationen ein Untervektorraum von R[X] ist und bestimmen Sie dessen Dimension (mit Beweis).

Also, was ich schon mal gedacht habe, ist, dass es ja reichen würde, 3 Axiome zu zeigen, um einen Untervektorraum zu beweisen (oder?)
Also k = 2, 3 und dann allgemein...
kann man so vorgehen? wie weiter? wie sonst?
Vielen Dank !
Karli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
was man nicht lesen kann sollte folgedes heissen:

R[X]^(<=k) : = {f E R[X] \ {0}; deg (f) <= k} U {0}
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Axiome meinst du?

Wieso und allgemein? Wieso nicht gleich allgemein?

Was ist dein?

Man bezeichnet eine nichtleere Teilmenge vom -Vektorraum als Unterraum, falls gilt:

für alle

für alle und

Überprüfe einfach, ob das stimmt.

Wie ist denn bei euch die Dimension definiert?
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

eben die mit 2, 3 und allgem.
jaa, stimmt, man kann ja gleich allgemein zeigen :-)

R = reelle Zahlen

hmm aber was ist u, v etc. in diesem Beispiel ?

dimK heisst bei uns die dimension von v über k..
genauere definitionen haben wir (so viel ich weiss) noch nicht gehabt..
vielen dank!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Karli
hmm aber was ist u, v etc. in diesem Beispiel ?


Das sind die Elemente aus deinem Unterraum, also Polynome.

Zitat:
dimK heisst bei uns die dimension von v über k..
genauere definitionen haben wir (so viel ich weiss) noch nicht gehabt..
vielen dank!


Und was sollst du dir unter Dimension vorstellen, wenn ihr das noch nicht genauer definiert habt?

Normalerweise ist sie definiert als: Die Anzahl der Elemente eines minimalen Erzeugendensystems oder die größtmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum.
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist mir schon klar, aber was sind sie konkret? (u, v)
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

u und v sind einfach beliebige Elemente aus U und es eben das zu zeigen:
Zitat:
Original von Roman Föll
für alle

für alle und
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

aber wo ich Mühe habe ist hier bei diesem Beispiel, die Theorie anzuwenden...
könntest du zB mit k=1 ein Beispiel machen, damit ich sehen kann, wie ich es für den allgemeinen fall (also k=k) machen soll...?
Vielen Dank!
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

..oder sonst jemand ;-) ?
Grazie mille!
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

heeelpp... :-)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du fängst so an:

Sei Zu zeigen ist, dass ein Unterraum von ist. Also sind die Unterraumeigenschaften nachzuweisen.
Natürlich ist nicht leer, denn die Nullabbildung ist in enthalten. Es seien nun Dann haben p und q die Form

p(x) = ... und q(x) = ... .

Also ist

(p+q)(x) = p(x) + q(x) = ... .

Damit folgt deg(p+q) = ... ,

und somit


Das machst du analog für das dritte Axiom.
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

all right - alles verstanden :-)
da wären allerdings noch zwei Fragen:
um das 3. axiom zu prüfen: wie beweise ich, dass J*q E R[X] sind? also was mache ich v.a. mit dem J ?

und die andere Frage wäre zur Dimension: wie prüfe ich, um welche Dimension es sich hierbei handelt?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Karli
um das 3. axiom zu prüfen: wie beweise ich, dass J*q E R[X] sind? also was mache ich v.a. mit dem J ?


Jq ist ein Polynom, und zwar das folgende: (jq)(x) = j * q(x).
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank!

Hättest du noch eine Idee, wie ich die Dimension herausfinde?
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

wie lässt sich aber die dimension bestimmen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest du mal selber drüber nachdenken...
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

folgendes weiss ich schon:

dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 -dim(V1 n V2)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Dimension eines Vektorraums? Das musst du natürlich wissen. Wenn nicht, frag nicht nach, sondern schau nach (z.B. unter Wikipedia oder in deinem Skript).
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

nein, ich weiss ja, dass die elemente einer basis der dimension entsprechen, doch: wie bzw wo kann ich die basis der aufgabe herausfinden?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal, k sei gleich 3. Gib mir mal einen Vektor aus deinem Unterraum.
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

v1= (1,1,1)
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

könnte mir hier vielleicht jemand helfen mit der dimensionsberechnung?
habe den überblick total verloren :-(
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Karli
v1= (1,1,1)


Nein, das ist kein Element deines Unterraums, da es kein Polynom ist. Hier sind die Vektoren Polynome.
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

hmm..schau, ich brauche einen ansatz oder etwas, das mir hilft, weil so komme ich nie drauf und bringe es nie fertig...=(
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das tut mir leidd, Karli. Du hast die Definition des Unterraums selber gepostet. Du wirst mir doch noch irgendein Element aus dieser Menge nennen können, oder?
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

jaa.a...zum beispiel k
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, aber ich habe nicht das Gefühl, dass du voll mitarbeitest. Für k = 2 ist z.B.

p(X) = 2X² + 5X - 3

ein Element aus deinem Vektorraum.

Es tut mir leid. Aber wenn ich nicht sehe, dass meine Hilfe irgendwas bringen könnte, dann habe ich auch keine Lust (bzw. sehe mich nicht imstande) zu helfen. Bei dir sehe ich es nicht. Deswegen klinke ich mich hier aus. Hoffentlich kann dir jemand anderes helfen.
Karli Auf diesen Beitrag antworten »

ich will dich jetzt wirklich nicht veralbern, aber ich weiss nicht, wie du auf diese Gleichung kommst...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Um sich der Länge deiner Beiträge anzupassen: Da steht auch zum Beispiel, du musst nur erkennen dass das ein Element deines Vektorraums ist!
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