Konvergenzradius einer Reihe

15.07.2006, 19:30	-=anni=-	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius einer Reihe Hi ! Ich habe ein kleines Problem .... Also, wir sollen den Kovergenzradius folgender Reihe berechnen: $\begin{eqnarray} x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + ... + (-1)^{i-1} \frac{x^{i}}{i} + ... \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich mal in meine Formelsammlung geschaut und diese Formel zum Berechnen des Konvergenzradius gefunden: $\begin{eqnarray} r = \lim_{n \to \infty} \mid \frac{an}{an+1} \mid \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, das ich keine Ahnung habe, wie ich das jetzt auf meine Reihe anwende .... Ich weiß das ich so anfangen muss: $\begin{eqnarray} an = ai = \frac{(-1)^{i-1} }{i} ; an+1 = ai+1 = \frac{(-1)^{i}}{i+1} \end{eqnarray*}$ Nur, wie kommt man dahin ? Also, wie kommt man jetzt anhand der Reihe darauf, was man jeweils für an und an+1 einsetzen muss ? Vielen Dank schon mal für Eure Hilfe ! -=anni=-
15.07.2006, 19:45	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel gilt für Reihen $\begin{eqnarray} \sum_{n}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ (unter der Bedingung, dass es ein N gibt, sodass $\begin{eqnarray} \forall n>N:~ a_n\neq0 \end{eqnarray}$ gilt), dein $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist also einfach der Teil, der nicht zum veränderlichen Polynom gehört. Du hast hier $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}x^n \end{eqnarray}$ und demnach $\begin{eqnarray} a_n=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ , wie du das auch gemacht hast.
15.07.2006, 19:54	-=anni=-	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so ! Dann suche ich mir aus den Reihen immer den unveränderlichen Teil heraus und setze ihn in die Formel ein ?
15.07.2006, 20:02	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsbestimmung "Unveränderlich" im Sinne von "unabhängig von x", und wenn du die obige Bedingung geprüft hast, klar. (Wenn immer Reihenglieder $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ auftreten, wie z.B. in der Potenzreihe des Sinus, hast du es mit der Formel schwer, denn dann hast du Nullen im Nenner.)
15.07.2006, 20:14	-=anni=-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsbestimmung Super danke ! Das hat mir auf jeden Fall schon mal viel weiter geholfen !

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