Koeffizient bestimmen

12.10.2008, 10:21

Thomander

Koeffizient bestimmen

Hallo,

ich komme hier irgendwie nicht klar und finde auch keine Hilfen im Netz (geschweigedenn im Skript der Vorlesung...)

Die Aufgabe ist:

Was ist der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} a^{3}b \end{eqnarray*}$ im Polynom $\begin{eqnarray*} (a + b)^{4} \end{eqnarray*}$ ? Bestimmen Sie auch den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} xy^{3}z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (x + y + z)^{5} \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich leider gar nicht, wie ich da vorgehen soll...

cu
Thomander

12.10.2008, 10:25

tigerbine

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RE: Koeffizient bestimmen
Pascalsches Dreieck.

12.10.2008, 10:39

Thomander

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RE: Koeffizient bestimmen
Danke, so könnte ich den ersten Teil ablesen, aber wie kann ich das berechnen? Vor allem beim zweiten Aufgaben teil?

12.10.2008, 10:42

kiste

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Für den zweiten Teil kannst du http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomialkoeffizient benutzen.
Das ist nicht nur ablesen sondern eben auch berechnen, du musst halt den entsprechenden Satz kennen. Aber falls du wirklich rechnen willst kannst ja ausmultiplizieren Big Laugh

12.10.2008, 11:20

Thomander

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OK, also kann ich doch beide mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen, oder? Dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} a^{3}b \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3,1 \end{pmatrix} = 4 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} xy^{3}z \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1,3,1 \end{pmatrix} =40 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das?

Wie kann ich dann aber sowas berechnen wie:

$\begin{eqnarray*} x^{2}yz^{4} in (x+2y-z^{2}+1)^{10} \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2008, 11:40

kiste

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Zitat:

Original von Thomander
OK, also kann ich doch beide mit dem Binomialkoeffizienten bestimmen, oder? Dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} a^{3}b \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3,1 \end{pmatrix} = 4 \end{eqnarray*}$ .

Du meinst $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3,1 \end{pmatrix} = {4 \choose 3} = 4 \end{eqnarray*}$ . Ja stimmt

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} xy^{3}z \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1,3,1 \end{pmatrix} =40 \end{eqnarray*}$ .

Hab ich was anderes raus.

Zitat:

Wie kann ich dann aber sowas berechnen wie:

$\begin{eqnarray*} x^{2}yz^{4} in (x+2y-z^{2}+1)^{10} \end{eqnarray*}$ ?

Naja erst von $\begin{eqnarray*} x^{2}2yz^{4}\cdot 1^3 \end{eqnarray*}$ berechnen Augenzwinkern

12.10.2008, 11:44

Thomander

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Stimmt, sollte 20 sein Augenzwinkern

Aber was meinst du mit:

Zitat:

Naja erst von $\begin{eqnarray*} x^{2}2yz^{4}\cdot 1^3 \end{eqnarray*}$ berechnen

Kannst du mir das genauer erklären?

12.10.2008, 11:57

kiste

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Ich meinte $\begin{eqnarray*} x^{2}(2y)^1(-z^2)^2\cdot 1^5 \end{eqnarray*}$ . Du siehst die Potenzen addieren sich zu 10(2+1+2+5). Jetzt ist der Koeffizient doch einfach $\begin{eqnarray*} {10 \choose 2,1,2,5} \end{eqnarray*}$ . Durch einfache Umformungen kommst du dann auch auf den Koeffizient den du haben willst

12.10.2008, 11:59

tmo

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} {5 \choose 4} = 4 \end{eqnarray*}$

Das halte ich für ein Gerücht Augenzwinkern

12.10.2008, 12:02

kiste

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Jetzt hat der mich auch noch mit seiner 5 durcheinander gebracht Big Laugh

natürlich meinte ich $\begin{eqnarray*} {4\choose 3} = 4 \end{eqnarray*}$ , habs korrigiert

12.10.2008, 12:20

Thomander

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Alles klar, danke! jetzt hab ich es verstanden! Als Ergebnis bei $\begin{eqnarray*} {10 \choose 2,1,2,5} \end{eqnarray*}$ bekomme ich 7560 raus. Dann habe ich das ganze mal 2 genommen, weil die Koeffizienten jeweils zu $\begin{eqnarray*} 1^{2}\cdot 2^{1}\cdot (-1)^{2}\cdot 1^{5}=2 \end{eqnarray*}$ beitragen.

Somit komme ich auf ein Endergebnis von 15120, was laut Musterlösung auch stimmt.

PS: Bei dieser Aufgabe steht in der Musterlösung als Berechnung:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 10\cdot {9 \choose 2}\cdot {7 \choose 2}=20\cdot 756=15120 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf so eine Berechnung? Wenn mein bisheriger Weg stimmt, ist das ja auch in Ordnung, aber interessehalber...

12.10.2008, 15:35

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} (x+y+z)^5 &=& ((x+y)+z)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k}(x+y)^k z^{5-k}\\ &=& \sum_{k=0}^5 \binom 5 k \left( \sum_{j=0}^k \binom k j x^j y^{k-j} \right)z^{5-k}\\ &=& \sum_{k=0}^5\,\sum_{j=0}^k \binom 5 k \binom k j x^j y^{k-j} z^{5-k}. \end{eqnarray*}$

Nun ist nach dem Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} xy^3 z \end{eqnarray*}$ gesucht. Was sind hier also j und k?

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