Erwartungswert mittels z-Transformation

16.07.2006, 12:30

poiz

Erwartungswert mittels z-Transformation

Eine Zufallsvariable G nehme die Werte 0 und 1 zufällig an. Dabei ist
P(x=1) = p
P(x=0) 1-p
Die Zufallsvariable N zählt die Anzahl versuche bis G zum ersten Man den Wert 1 annimmt.

Bestimme die W'keit $\begin{eqnarray*} p_{n} \end{eqnarray*}$ = P(N=n), n = 1,2,3....

Mit Hilfe der Binomialveteilung habe ich folgendes bekommen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~p*(1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nun soll man auch noch den Erwartungswert E[N] bestimmen, mit Hilfe der z-Transformation. In meinen Notizen steht etwas von z-transformierte ableiten, und 1 einsetzen...naja, besonders viel kann ich damit nicht mehr anfangen. Ich weiss auch nicht, wie denn die z-Transformation aussehen sollte...

16.07.2006, 13:42

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Zitat:

Original von poiz
Mit Hilfe der Binomialveteilung habe ich folgendes bekommen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~p*(1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Präzision bitte - was soll die Summe hier darstellen? Vermutlich meinst du

$\begin{eqnarray*} p_n=P(N=n) = p(1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

16.07.2006, 13:48

poiz

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yup, ohne das Summenzeichen.

Doch wie berchne ich den Erwartungswert mittels Z-Transformation? Aus Wikiepdia werd ich nicht wirklich schlau zum Thema Z-Transformation...

16.07.2006, 13:51

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Obwohl sie mir nicht so geläufig ist, mit z-Transformatierte ist hier vermutlich

$\begin{eqnarray*} g(z) := E(z^N) = \sum\limits_n ~ P(N=n)z^n \end{eqnarray*}$

gemeint. Wegen $\begin{eqnarray*} g'(z)=E(Nz^{N-1}) \end{eqnarray*}$ kann man dann über $\begin{eqnarray*} E(N)=g'(1) \end{eqnarray*}$ den Erwartungswert bestimmen. Natürlich ist das nur dann brauchbar, wenn man $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ vor dem Differenzieren "einfach" (d.h. ohne Reihe) darstellen kann, was hier bei deiner Aufgabe in der Tat der Fall ist.

16.07.2006, 14:08

poiz

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Das heisst also, dass ich einfach

$\begin{eqnarray*} p(1-p)^{n-1} * z^{n} \end{eqnarray*}$

nach z ableiten kann?

Also:

$\begin{eqnarray*} p(1-p)^{n-1} * N * z^{n-1} \end{eqnarray*}$

und dann für N=1 einsetzen gibt p. Der Erwartungswert müsse doch aber 1/p sein?!

16.07.2006, 14:15

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Nein: Es ist

$\begin{eqnarray*} g(z) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} ~ p(1-p)^{n-1} z^n \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du versuchen, das Summenzeichen zu eliminieren (Hinweis: geometrische Reihe!), um das $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ "handlicher" zu gestalten. Dann erst solltest du ableiten.

16.07.2006, 14:34

poiz

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Danke erstmal für deine Hilfe!

Leider klappt es noch immer nicht. Hab jetzt einige "Varianten" durchgerechnet, das Endresultat stimmt aber noch immer nicht.

Wie kann ich denn am Einfachsten $\begin{eqnarray*} (1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{n} \end{eqnarray*}$ mit dem gemeinsamen Exponent "n-1" zusammenführen, damit dies für die "Formel" der gemometrischen Reihe passt?

16.07.2006, 14:35

Ben Sisko

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$\begin{eqnarray*} z^n =z \cdot z^{n-1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

16.07.2006, 14:51

poiz

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Das Wetter, der Lernstress und die Algebra-Lücken helfen mit nicht gerade weiter...

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{zp((z-zp)^n -1)}{zp-1} \end{eqnarray*}$

soll die "Umwandlung" in die gemo. Reihe bzw. dessen Formel sein.

(Wo ist der Fehler...)?

16.07.2006, 15:21

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$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Summenindex der Reihe - wie kann der im Reihenwert auftreten? unglücklich

Als Parameter haben da nur noch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ was zu suchen. Und auch der Nenner des Ergebnisses ist falsch. Zur Erinnerung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \lambda^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda^n = \frac{1}{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |\lambda|<1 \end{eqnarray*}$ .

16.07.2006, 15:44

poiz

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Endlich, es hat geklappt! Vielen Dank für deine Geduld...

E[N] = 1/p

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