AA^1 ähnlich zu A^tA

16.07.2006, 13:19

Nefer

AA^1 ähnlich zu A^tA

Hi,
ich möchte zeigen, daß für $\begin{eqnarray*} A \in M_n(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} AA^t \end{eqnarray*}$ ist ähnlich zu $\begin{eqnarray*} A^tA \end{eqnarray*}$ .

Falls man das einfach per Nachrechnen zeigt würde ich mich freuen, wenn mir das jemand "vorrechnen" könnte. Ich komme da irgendwie nicht drauf.

Klar ist, daß auf der Diagonale jeweils das selbe steht. Kommt man über die Eigenwerte zum Beweis?

Und noch eine kurze Frage:
Wenn das charakt. Polynom einer Matrix in Linearfaktoren zerfällt, ist die Matrix ja diagonalisierbar. Bildet man die Transformationsmatrix dann immer aus den Eigenvektoren? Ist die Reihenfolge der Eigenvektoren dann beliebig?

Besten Dank schonmal!

16.07.2006, 14:59

Sly

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: AA^1 ähnlich zu A^tA

Zitat:

Original von Nefer

Und noch eine kurze Frage:
Wenn das charakt. Polynom einer Matrix in Linearfaktoren zerfällt, ist die Matrix ja diagonalisierbar. Bildet man die Transformationsmatrix dann immer aus den Eigenvektoren? Ist die Reihenfolge der Eigenvektoren dann beliebig?

Besten Dank schonmal!

Nein, die Matrix ist dann nur trigonalisierbar.

Für den Beweis hab ich jetz auch keinen Ansatz, aber vorrechnen darf dir hier sowieso niemand.

MfG

16.07.2006, 15:36

Nefer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, dann ist das Zerfallen des charakt. Polynoms in Linearfaktoren demnach notwenig aber nicht hinreichend. Danke für den Hinweis.

Muß ich also zwecks fehlender Idee erst einen unsinnigen Ansatz hinschreiben, damit man nicht mehr "vorrechnen" sondern "verbessern" muß weil der Begriff schöner ist? Pff...

LG,
Nefer

17.07.2006, 01:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Muß ich also zwecks fehlender Idee erst einen unsinnigen Ansatz hinschreiben, damit man nicht mehr "vorrechnen" sondern "verbessern" muß weil der Begriff schöner ist? Pff...

weiß nicht, warum du nicht daran denkst, dass dir vielleicht einfach HINWEISE gegeben werden, statt dass gleich alles "vorgerechnet" (vorrechnen? eher vorbeweisen) wird.
Da bringt auch ein solch doofer Kommentar wie obiger gar nix.

Schau halt mal in dein Skript, ob dir das bzgl. deiner Idee nicht was bringt, wenn du (als Tipp:) beachtest, dass deine Matrizen symmetrisch sind.
Das steht doch schon mal irgendwie im Zusammenhang mit Diagonalisierbarkeit.

Obs was bringt, weiß ich nicht, aber nach deiner doofen Antwort habe ich gerade auch nicht viel Lust bekommen, für dich darüber nachzudenken.

17.07.2006, 09:44

Nefer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Hinweis (wie deiner z.B.) reicht mir vollkommen aus. Vielleicht hätte ich noch einen Smilie einfügen sollen ... das war nämlich nicht so ernst gemeint wie es wohl ausschaut. Wollte nur die kategorische Verteufelung von "vorrechnen" aufs Korn nehmen smile

Also jedenfalls danke für deinen Tip, war am Ende ja doch eher rechnen.

LG,
Nefer

17.07.2006, 22:17

Beck

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nefer
Ah ok, dann ist das Zerfallen des charakt. Polynoms in Linearfaktoren demnach notwenig aber nicht hinreichend. Danke für den Hinweis.

Wenn die Eigenwerte noch paarweise verschieden sind stimmt deine erste Vermutung bzgl. Diagonalisierbarkeit wieder Augenzwinkern

01.08.2006, 18:45

krawumm

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Nefer,
ich fand $\begin{eqnarray*} {\rm rg}(AA^T)={\rm rg} (A^TA) \end{eqnarray*}$ schoen.
Mein Beweis geht so:

1. $\begin{eqnarray*} {\rm ker}(A^TA)={\rm ker}(A) \end{eqnarray*}$ ,
weil das Bild von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ orthogonal zum Kern von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ ist.
2. $\begin{eqnarray*} {\rm ker}(AA^T)={\rm ker}(A^T) \end{eqnarray*}$ , wie in (1.).
Die Dimensionen von $\begin{eqnarray*} {\rm ker}(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\rm ker}(A^T) \end{eqnarray*}$ sind jedoch gleich (sogar das charakteristische Polynom ist identisch.)

01.08.2006, 23:20

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nefer
Ein Hinweis (wie deiner z.B.) reicht mir vollkommen aus.

Dann schreib bitte auch deine Lösung hier hinein.

Neue Frage »

Antworten »

AA^1 ähnlich zu A^tA

Verwandte Themen