Verkettung von Abbildungen: surjektiv beweisen

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12.10.2008, 15:58	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung von Abbildungen: surjektiv beweisen Hallo! Folgendes Beispiel, bei dem ich nicht weiß, ob es stimmt: "Sei $\begin{eqnarray} f: M \to N \end{eqnarray}$ gegeben, $\begin{eqnarray} M \neq \emptyset \end{eqnarray}$ . Man zeige: (a) f ist surjektiv $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ es gibt ein $\begin{eqnarray} g: N \to M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \circ g = id_N \end{eqnarray}$ ." Mein Beweis: $\begin{eqnarray} f: M \to N \end{eqnarray}$ ist surjektv, wenn zu jedem $\begin{eqnarray} y \in N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ gibt und gilt $\begin{eqnarray} f(x) = y \end{eqnarray}$ . Jetzt muss gezeigt werden, dass es so ein x gibt: da $\begin{eqnarray} f \circ g = id_N \end{eqnarray}$ ist, gilt auch $\begin{eqnarray} x=g(y) \end{eqnarray}$ . Ist das ein Beweis? Bzw. was könnte man sonst besser machen? mfg PS: Natürlich habe ich die Suche benützt. Aber keine 100%ig passende Antwort gefunden.
12.10.2008, 16:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtige Idee, aber du solltest es einfach mal so formulieren: Sei $\begin{eqnarray} y \in N \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f(g(y)) = \operatorname{id}_N(y)=y \end{eqnarray}$ . Also ist mit $\begin{eqnarray} x = g(y) \end{eqnarray}$ solch ein $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ gefunden.
12.10.2008, 16:31	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Das verstehe ich soweit Jetzt zu (b): "f ist bijektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ es gibt ein $\begin{eqnarray} g: N \to M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \circ f = id_M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \circ g = id_N \end{eqnarray}$ ." Da muss ich jetzt beide Richtungen zeigen: Zuerst diese Richtung: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in N \end{eqnarray}$ . Wenn f bijektiv ist, dann gilt $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ UND $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray}$ Aber weiter weiß ich nicht. Hat wer einen Tipp? mfg
12.10.2008, 17:01	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} f^{-1}? \end{eqnarray}$ Das ist doch noch gar nicht definiert.
12.10.2008, 17:11	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Ich mein das Urbild. $\begin{eqnarray} f^{-1} ( \{ y \} )=\{ x \in M \mid f(x) \in \{ y \} \} \end{eqnarray}$ mfg
12.10.2008, 17:45	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Abbildung g definieren. Wie könntest du das machen?
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12.10.2008, 17:49	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung g sollte doch gleich wie $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ sein, oder?
12.10.2008, 17:53	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja nicht, wo du herkommst, aber sowas wie "gleich wie" gibt es im deutschen nicht. "gleich" reicht. Und deine Frage muss natürlich bejaht werden.
12.10.2008, 18:26	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Ich versuchs mal weiter: Da f bijektiv folgt, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}: N \to M \end{eqnarray}$ gilt. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} f^{-1}=g(y)=x \end{eqnarray}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray} g: N \to M \end{eqnarray}$ . Jetzt sollte ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} g \circ f = id_M \end{eqnarray}$ (-> Injektivität) und $\begin{eqnarray} f \circ g = id_N \end{eqnarray}$ (-> Surjektivität), oder? mfg
12.10.2008, 21:38	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß keiner was dazu? mfg
12.10.2008, 23:36	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was du da schreibst, ist kompletter Unfug. Verstehst du es eigentlich selber? Nochmal: Wie definierst du $\begin{eqnarray} f^{-1}? \end{eqnarray}$ Darum geht es doch in dieser Aufgabe. In deinem vorletzten Posting ist es offenbar nicht das Urbild als Menge.
13.10.2008, 07:09	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Kann ich das so angeben? Urbild: $\begin{eqnarray} f^{-1}( \{y\} )= \{ x \in M \mid f(x) \in \{y\} \} \end{eqnarray}$ Dar Urbild könnte natürlich auch leer sein. Aber da f injektiv ist, gibt es auch eine Umkehrfunktion, die so definiert ist: $\begin{eqnarray} f^{-1}( y )= x \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} f^{-1}( \{y\} )= \{ x \} \end{eqnarray}$ In diesem Fall lautet die Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray} f^{-1}: f(M) \to M \end{eqnarray}$ Stimmt so, oder? Kann ich so weiter machen? Dieses $\begin{eqnarray} f(M) \end{eqnarray}$ kann man mit $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ersetzen: $\begin{eqnarray} f^{-1}: N \to M \end{eqnarray}$ Dieses $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ entspricht durch die Bijektivität genau dem $\begin{eqnarray} g: N \to M \end{eqnarray}$ . Wie gehts jetzt weiter? mfg
13.10.2008, 12:37	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird besser. Du hast jetzt eine Abbildung f^{-1} definiert. Warum du sie nicht gleich g nennst, blieb mir bisher verschlossen. Du musst bei der Definition natürlich noch begründen, warum die Menge f^{-1}(\{y\}) für alle y aus N einelementig ist. Du musst nun noch die zu zeigende Identität beweisen. Studierst du eigentlich Mathe?
18.10.2008, 10:08	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Ich dachte, ich muss zuerst die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ definieren und nenne sie dann g @ $\begin{eqnarray} \{y\} \end{eqnarray}$ einelementig: Wie begründe ich das? Reicht es, wenn ich schreibe, dass f bijketiv ist? Das mit der Identität sollte dann kein Problem mehr sein. Ich versuchs mal und melde mich dann. Ja. Ich studiere Mathe im 1. Sem. Warum? mfg

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