Untervektorräume

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Bär Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume
Hallo zusammen!
Kann mir jemand die folgenden zwei Aufgaben ansehen?

Die Aufgabe lautet:
Betrachten sie den vektorraum M (n x n; R) aller n x n matrizen mit reellen koeffizienten. Gegeben sei die Matrix A =(aij) E M (n x n; R), die Matrix B = (bij) so dass bij = aji, heisst die transponierte matrix zu A. Man nennt tr(A): = die spur der matrix A.

Entscheiden sie, ob die folgenden teilmengen von M (n x n; R) mit den induzierten Operationen vektorräume sind.

1.) W1 = {A E M (n x n; R): A = -B}

damit es ja ein Untervektorraum ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:
UV1: W ungleich 0
UV2: v, w E W --> v + w E W
UV3: w E w; J E R --> Jw E W

bei dieser Aufgabe würde ich also folgendes testen:
A+(-B) E W1 ?
--> (aij - bij) = ....?

hier weiss ich nicht mehr weiter - wäre es nämlich "+", so wäre es = cij und somit ein Untervektorraum, so aber nicht.
Ist es keiner?


2.) W2 = {A E M (n x n; R): tr(A) = 1}

hier wäre ich um Hilfe dankbar... :-)
Bär Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume
..hat es zuviel Text, dass mir niemand hilft :-(
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nicht unbedingt.

zu 1.) Ist deine Matrix B also das transponierte von A?
zu 2.) Nehmen wir diese Matrix:



Die liegt sicher in und hat die Spur eins, demnach liegt sie in .
Überprüfe nun die Axiome.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

1) nein, es hat ja noch ein "-" vor dem B...

2) oke, um die axiome zu prüfen, soll ich statt 1 eine variable (zb "p") nehmen?

was wäre, wenn bei 2) tr(A) = 0 stehen würde?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.) Erst in wird das Minus als Bedingung gesetzt. an sich ist das Transponierte von so wie ich das sehe...
Welche reelle Matrix erfüllt denn diese Eigenschaft? Ich kenne nur eine.
zu 2.) Nein sollst du nicht. Ein Vektorraum ist insbesondere abgeschlossen, d.h. Elemente aus dem Vektorraum, die du miteinander addierst, sollten auch wieder im Vektorraum landen.
Ist das denn der Fall bei dieser Matrix?

zu deiner Frage: Dann müssten die Diagonaleinträge aufsummiert 0 ergeben.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Föll
Welche reelle Matrix erfüllt denn diese Eigenschaft? Ich kenne nur eine.


Denk nochmal nach... Du kennst mehrere. Augenzwinkern
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, hab das mit adjungiert verwechselt. Hammer
Dann kenne ich eine spezielle und viele andere.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Auch für den Fall, dass B die adjungierte Matrix (dann über ) bezeichnet, gibt es mehere solche Matrizen.
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1: wenn es sich bei B um das transponierte handelt, ist es somit ein vektorraum oder nicht?
Bär Auf diesen Beitrag antworten »

?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und bitte hör auf, so zu drängeln. Ist ja fürchterlich. unglücklich
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