Eindeutigkeit einer Abbildung

16.07.2006, 15:47	Zweideutig	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit einer Abbildung Hi, sei $\begin{eqnarray} f: V \to V \quad g: V \to V \end{eqnarray}$ , V unitär und es gilt: $\begin{eqnarray} <f(x),y> = <x,y> + <g(x),g(y)> \quad \forall_{x,y \in V} \end{eqnarray}$ Man zeige, daß f eindeutig bestimmt und eine lineare Abbildung ist. Die Linearität beschränkt sich auf stures Nachrechnen. Aber bei der Eindeutigkeit sitze ich fest. Der Standart-Ansatz ist ja: Man nimmt an, es existiert ein $\begin{eqnarray} h(x) \neq f(x) \end{eqnarray}$ , für welches aber die obige Bedingung dennoch gilt. Also setzt man $\begin{eqnarray} <h(x),y> = <x,y> + <g(x),g(y)> \end{eqnarray}$ Und wie gehts jetzt weiter? Ich muß ja irgendwie zu dem Schluß kommen, das h(x)=f(x)? Schreibt man x als Linearkombination und zerpflückt das Skalarprodukt? Ich wäre für einen Hinweis dankbar!
16.07.2006, 18:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Muß man da nicht noch die Linearität von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ voraussetzen? Ansonsten würde ich es einmal mit $\begin{eqnarray} \langle \, (f-h)(x) \, , \, y \, \rangle = \langle \, f(x) - h(x) \, , \, y \, \rangle = \langle \, f(x) \, , \, y \, \rangle \ - \ \langle \, h(x) \, , \, y \, \rangle \end{eqnarray}$ versuchen. Jetzt kann man die $\begin{eqnarray} f,h \end{eqnarray}$ charakterisierende Bedingung anwenden.
16.07.2006, 18:38	Zweideutig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Dankeschön! Die Linearität von g habe ich tatsächlich vergessen anzugeben, sorry. Sonst könnte man die Linearität von f nicht nachweisen. Grüsse
18.07.2006, 11:18	Jess	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne gerade die selbe Aufgabe und komme bei Aufgabenteil 2 und 3 nicht weiter: Da muß man zeigen: 2) f hat nur positive, reelle Eigenwerte 3) Falls V endlichdimensional ist, so ist f diagonalisierbar Ich habe leider nichtmal eine Idee Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie man die beiden Sachen folgert? Danke!
18.07.2006, 11:29	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2) teste doch einfach mal aus, was passieren würde, wenn f einen negativen Eigenwert hätte... - da kommst du auf eine Gleichung, die widersprüchlich ist. dabei musst du noch bedenken, dass ein Skalarprodukt positiv definit ist.
18.07.2006, 11:48	Jess	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, dann wäre mit x EV zu $\begin{eqnarray} \lambda < 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <f(x),x> = <\lambda x,x> = \lambda <x,x> < 0 \end{eqnarray}$ , die andere Seite aber > 0 wegen positiver Definitheit des SP. Und die reelle Eigenschaft geht genauso: Wäre $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb{C} \Rightarrow <f(x),x> = \lambda<x,x> \end{eqnarray}$ komplex, die andere Seite ist wegen $\begin{eqnarray} <x,x> \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ aber reell. Dann fehlt mir nur noch der 3. Teil. Danke für deinen Tip übrigens!
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