Volumen von Körper zw. Funktion, Tangente und y-Achse

30.05.2004, 16:59

Tets

Volumen von Körper zw. Funktion, Tangente und y-Achse

Der Graph der Funktion $\begin{align*} f:y = \sqrt{6x} \end{align*}$ , die Tangente in P (6/6) und die y-Achse begrenzen ein Flächenstück. Berechne das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Flächenstück um die a) x-Achse, b) y-Achse rotiert.

Zuerst wird mal schnell die Tangentengleichung mithilfe der allgemeinen Tangentengleichung für die Parabel aufgestellt

$\begin{align*} f:y = \sqrt{6x} \end{align*}$

$\begin{align*} y^2 = 2*3 x \end{align*}$

$\begin{align*} 6y = 3x + 18 \end{align*}$

$\begin{align*} t: -x + 2y = 6 \end{align*}$

a) um die x-Achse

Ich muss mir $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ freistellen

$\begin{align*} -x + 2y = 6 \end{align*}$

$\begin{align*} x =2y - 6 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 = 4y^2 - 24y +36 \end{align*}$
______________________________________

$\begin{align*} y = \sqrt{6x} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{y^2}{6} = x \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{y^4}{36} = x^2 \end{align*}$

Durch die Skizze habe ich erkannt, dass ich das Volumen der Tangente minus dem Volumen der Kurve rechnen muss um das Volumen des Flächenstücks zu berechen...

$\begin{align*} V = \pi\Bigint_{0}^6 [4y^2 - 24y +36 ] - [\frac{y^4}{36}] \end{align*}$

$\begin{align*} \[V\]_{0}^6 = \pi ( [\frac{4}{3} y^3 - 12y^2 + 36y] - [\frac{y^5}{180}] \end{align*}$

$\begin{align*} V = 28,8\pi \end{align*}$

b) um die y-Achse
Ich muss mir $\begin{align*} y^2 \end{align*}$ freistellen

$\begin{align*} y= \frac{x}{2} + 3 \end{align*}$

$\begin{align*} y^2= \frac{x^2}{4} + 3x + 9 \end{align*}$
____________________________________________________
$\begin{align*} y = \sqrt{6x} \end{align*}$

$\begin{align*} y^2 = 6x \end{align*}$

Ich muss die Tangente im Intervall 3 ; 6 berechnen, die Kurve von 0 ; 3

$\begin{align*} V = \pi\Bigint_{3}^6 [\frac{x^2}{4} + 3x + 9] \end{align*}$

$\begin{align*} \[V\]_{3}^6 = \pi [\frac{x^3}{12} + \frac{3}{2}x^2 + 9x ] \end{align*}$

$\begin{align*} V= 65,25 \pi \end{align*}$

$\begin{align*} V = \pi\Bigint_{0}^3 [6x] \end{align*}$

$\begin{align*} \[V\]_{0}^3 = \pi [3x^2] \end{align*}$

$\begin{align*} V= 27 \pi \end{align*}$

$\begin{align*} V_gesamt= 92,25 \pi \end{align*}$

Hab ich richtig gedacht und gerechnet ? Hilfe

Mir erscheint das Volumen zu groß, nur das sagt noch nicht viel unglücklich

danke schonmal Gott

Zitat:

Ich muss die Tangente im Intervall 3 ; 6 berechnen, die Kurve von 0 ; 3

- stimmt das überhaupt verwirrt

Ich hoff mal das wenigstens irgendwas richtig is traurig

Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen mit den rotieren unglücklich

30.05.2004, 18:09

grybl

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RE: Volumen von Körper zw. Funktion, Tangente und y-Achse
Also:

Tangente richtig berechnet.

Leider stimmen deine Volumsberechnungen nicht.

Rotiert eine Funktion um die x-Achse, dann brauchst du y² (also: V= $\begin{align*} \pi \Bigint_{b}^a~y^2~dx \end{align*}$ ) und um die y-Achse x².

Grenzen bei Rotation um y-Achse:
Tangente 3; 6
Parabel 0;6
dann Differenz bilden
Wink

30.05.2004, 18:11

m00xi

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Hi Tets.
Ich habe mir deine Rechnung angesehen doch nicht ganz verstanden, wie du darauf gekommen bist und habe deshalb einfach mal so gerechnet, wie ich das "gelernt" habe:

Die Tangente hat an Punkt (6|6) die Steigung von $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ und schneidet die Y-Achse in (0|3). Daher ist die Tangentenfunktion $\begin{align*} t(x)=\frac{1}{2}~x+3 \end{align*}$ . Sie schneidet die X-Achse in (-6|0), d.h. das Rotationsvolumen von -6 bis 6 ist:
$\begin{align*} \pi~\int_{-6}^{6}{((\frac{1}{2}~x+3)^2)dx}=\pi~\int_{-6}^{6}{(\frac{1}{4}~x^2+3x+9)dx}=\pi\[\frac{1}{12}~x^3+\frac{3}{2}~x^2+9x\]_{-6}^{6} \end{align*}$
$\begin{align*} =144\pi \end{align*}$
Das Rotationsvolumen der Wurzelfunktion berechne ich von 0 bis 6:
$\begin{align*} \pi\int_{0}^{6}{(6x)dx}=\pi\[3x^2\]_{0}^{6} \end{align*}$
$\begin{align*} =108\pi \end{align*}$

Subtrahiert ergäbe sich also nach meiner Rechung $\begin{align*} 144\pi-108\pi=36\pi \end{align*}$ .

30.05.2004, 18:17

grybl

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@m00xi:
Das Flächenstück, das rotiert wird von Funktion, Tangente und y-Achse begrenzt, daher kann die untere Grenze bei der Rotation der Tangente um die x-Achse nicht -6 sein sondern muss 0 sein.
Wink

30.05.2004, 18:20

Tets

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danke

(ich hoffe ich darf das Augenzwinkern

)

Also...
Wenn ich um die x-Achse rotiere muss ich mir y² freistellen (y²=6x), das heißt ich setze dann die andere Seite in die Formel ein
Wenn ich um die y-Achse rotiere muss ich mir x² freistellen

Rotation um x-Achse stimmt
Rotation um y-Achse versthe ich auch, habs in die Skizze eingezeichnet und dann sogleich verstanden smile

Ich glaube ich weiß jetzt auch wie ich mir das vorstelln kann :]

@mooxi
Wahrscheinlich liegt es an den von grybl erwähnten Fehlern

und:

-6 is zuviel : die y-Achse bergrenzt den Körper Augenzwinkern

Edit: Da war wer schneller Augenzwinkern

danke nochmal

30.05.2004, 18:39

Tets

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kein doppelpost (Thread soll neuen Inhalt anzeigen)

So die frischen Ergebnisse : sehen gut aus smile

Ich hab gerechnet wie beschrieben und für die Rotation um die x-Achse das Ergebnis 18 $\begin{align*} \pi \end{align*}$ bekommen, für die Rotation um die y-Achse 16,8 $\begin{align*} \pi \end{align*}$

31.05.2004, 08:24

grybl

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um die x-Achse kommt mir auch 18pi heraus, um die y-Achse aber 7,2pi (Parabel 216/5pi, Tangente 36pi) verwirrt

31.05.2004, 12:03

Tets

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Ja du hast recht, ich hab eh schon das richtige Ergebnis zu Anfangs gehabt, nur das is mir zu klein vorgekommen unglücklich

deshalb bin ich auf Fehlersuche gegangen und hab sogar nen "Fehler" gefunden... unglücklich

danke nochmal
Wink

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