Gleichung einer "Linksabbiegung"

13.10.2008, 14:03

Zelos

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Gleichung einer "Linksabbiegung"

Hallo,

ich bin gerade ziemlich verzweifelt, da ich diese Aufgabe einfach nicht in den Griff bekomme.
Es handelt sich um eine Linkskurve bzw. einer Auffahrt auf eine Autobahn.
Schon bei a) weiß ich einfach nicht weiter.

Was ich bisher rausgefunden habe, ist, dass der Grad des Polynoms mindestens 3 sein muss (da sonst Gerade/Parabel) und dass der y-Achsenabschnitt -200 ist.
Weitergehen soll das Ganze an der linken Seite nach oben, wodurch dort ein Wendepunkt vorliegen würde...
Das heißt also, dass erste und zweite Ableitung sowie die Funktion selber 0 sein müssen (jedenfalls laut Lehrerin).

Jetzt weiß ich aber wirklich nicht weiter.
Ich habe weder Ahnung, wie ich den Grad des Polynoms rauskriege, noch, wie ich dann die Funktion aufstellen kann.
Ich hoffe, jemand kann mir da weiterhelfen.

[attach]8864[/attach]

EDIT von Calvin
Bilder bitte direkt im Board hochladen. Danke

13.10.2008, 14:19

klarsoweit

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RE: Gleichung einer "Linksabbiegung"

Zitat:

Original von Zelos
Ich habe weder Ahnung, wie ich den Grad des Polynoms rauskriege, noch, wie ich dann die Funktion aufstellen kann.

Der Grad des Polynoms ist gleich Anzahl der Bedingungen abzüglich 1.

Jetzt stelle mal die Bedingungen auf. Durch welche Punkte muß das Polynom laufen? Welche Steigungen hat es dort?

13.10.2008, 14:57

Zelos

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RE: Gleichung einer "Linksabbiegung"

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Zelos
Ich habe weder Ahnung, wie ich den Grad des Polynoms rauskriege, noch, wie ich dann die Funktion aufstellen kann.

Der Grad des Polynoms ist gleich Anzahl der Bedingungen abzüglich 1.

Jetzt stelle mal die Bedingungen auf. Durch welche Punkte muß das Polynom laufen? Welche Steigungen hat es dort?

Ich bin da ehrlich gesagt schon überfordert.
Zuvor haben wir nichts gemacht außer Neben- und Extremalbedingung aufzustellen und daraus die Zielfunktion abzuleiten.
Daraus konnten dann eben Extrema etc. bestimmt werden.

Also... welche Bedingungen?
Die für den Wendepunkt? $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 ; f'''(x)=/=0 \end{eqnarray*}$
Außerdem ist der y-Wert am Wendepunkt 0, also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
Der Wendepunkt ist ja dann auch gleichzeitig Sattelpunkt, also ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Das wären 4 Bedingungen... -1 wäre 3.
Also ist der Grad des Polynoms schonmal 3?

Wie ich jetzt auf die Steigung komme, weiß ich nicht wirklich.
Ist das bis hierhin denn schonmal richtig?

13.10.2008, 15:04

Jacques

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RE: Gleichung einer "Linksabbiegung"
Hallo,

Zitat:

Original von Zelos

Also... welche Bedingungen?
Die für den Wendepunkt? $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 ; f'''(x)=/=0 \end{eqnarray*}$
Der ist ja gleichzeitig auch Sattelpunkt, also ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
Außerdem ist der y-Wert am Wendepunkt 0, also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Also von dem besagten Polynom hast Du doch nur einen kleinen Ausschnitt gegeben, nämlich den Teil I. Nirgendwo steht, wie es links und rechts weitergeht oder weitergehen soll -- also weiß auch niemand, ob jetzt bei A und B Wendepunkte oder Extrempunkte vorliegen!

Und Du darfst ja nicht einfach irgendwas dazuerfinden.

13.10.2008, 15:06

Zelos

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RE: Gleichung einer "Linksabbiegung"

Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Zitat:

Original von Zelos

Also... welche Bedingungen?
Die für den Wendepunkt? $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 ; f'''(x)=/=0 \end{eqnarray*}$
Der ist ja gleichzeitig auch Sattelpunkt, also ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
Außerdem ist der y-Wert am Wendepunkt 0, also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Also von dem besagten Polynom hast Du doch nur einen kleinen Ausschnitt gegeben, nämlich den Teil I. Nirgendwo steht, wie es links und rechts weitergeht oder weitergehen soll -- also weiß auch niemand, ob jetzt bei A und B Wendepunkte oder Extrempunkte vorliegen!

Und Du darfst ja nicht einfach irgendwas dazuerfinden.

Naja, unsere Lehrerin sagte uns, dass wir uns aussuchen können, ob es dort nach unten oder oben geht.
Natürlich kommt dann etwas anderes raus, aber sie meinte, das wäre ok so und sagte und sogar, dass wir einfach annehmen sollen, dass A ein Wendepunkt ist.

13.10.2008, 15:08

klarsoweit

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RE: Gleichung einer "Linksabbiegung"

Zitat:

Original von Zelos
Zuvor haben wir nichts gemacht außer Neben- und Extremalbedingung aufzustellen und daraus die Zielfunktion abzuleiten.
Daraus konnten dann eben Extrema etc. bestimmt werden.

Hier geht es nicht um Extrema-bestimmung, sondern um die Aufstellung eines Polynoms. Diesen elementaren Unterschied sollte man schon erkennen.

Zitat:

Original von Zelos
Der Wendepunkt ist ja dann auch gleichzeitig Sattelpunkt, also ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Wodran willst du das erkennen? verwirrt

verwirrt

Jetzt sage erstmal, durch welche Punkte das gesuchte Polynom laufen soll.

Zitat:

Original von Zelos
Natürlich kommt dann etwas anderes raus, aber sie meinte, das wäre ok so und sagte und sogar, dass wir einfach annehmen sollen, dass A ein Wendepunkt ist.

Unfug.

unglücklich

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13.10.2008, 15:13

Zelos

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Dann muss ich wohl nochmal ganz von vorne anfangen. :/
Was meine Lehrerin uns sagte, ist, dass wir annehmen sollen, dass A ein Wendepunkt und gleichzeitig Sattelpunkt ist.
Und das ist dann auch so ziemlich der einzige Lösungsansatz, den wir gefunden haben.
Jetzt weiß ich gar nicht mehr, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Ich weiß nicht, durch welche Punkte das gehen soll.
Durch A und B schätze ich?

Ich komme mir gerade ziemlich dumm vor. verwirrt

verwirrt

13.10.2008, 15:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zelos
Durch A und B schätze ich?

Genau. Und welche Steigung hat das Polynom in diesen Punkten?

13.10.2008, 15:26

Zelos

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Zitat:

Original von klarsoweit
Genau. Und welche Steigung hat das Polynom in diesen Punkten?

Die müsste dann an beiden Punkten 0 sein.
B ist ja Tiefpunkt, bei A ist nicht klar, wie's dort weitergeht.
Aber I ist ja eh abgetrennt, also sollte das (vorerst) nicht wichtig sein...

13.10.2008, 15:28

klarsoweit

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Hervorragend. Freude

Freude

Und das ganze jetzt in Formeln packen.

13.10.2008, 15:36

Zelos

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Ok, da hängt's jetzt bei mir.
Ich weiß nicht so genau, was ich suche, und deshalb auch nicht, welche Formel ich nehmen muss.

Ich hab jetzt also
$\begin{eqnarray*} A(-600/0); m=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(0/-200); m=0 \end{eqnarray*}$ ...

Was genau möchte ich jetzt ermitteln?
Komme ich durch eine passende Formel schon auf die Zielfunktion?
Mir will einfach nicht einfallen, welche Formel ich da brauche...

13.10.2008, 15:41

klarsoweit

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Zunächst mußt du mal die allgemeine Form für das zu suchende Polynom aufstellen.

13.10.2008, 18:05

Zelos

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Ich glaube, ich habe in der 9 nicht ganz aufgepasst...

Ich weiß zwar, wie die allgemeine Form aussieht ( a(n)*x^n + ...), aber ich weiß nicht so wirklich, was mir das jetzt bringt und was genau ich da einsetzen soll.

13.10.2008, 18:10

Jacques

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Na ja, eine Polynomfunktion dritten Grades hat doch die Vorschrift

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

Und hier musst Du die Parameter a, b, c und d bestimmen, indem Du aus den gegebenen Eigenschaften Gleichungen aufstellst und dann das entsprechende Gleichungssystem löst.

Was folgt daraus, dass der Punkt A auf dem Graphen von f liegt?

Eine Ergänzung übrigens noch:

Zitat:

Original von Zelos

B ist ja Tiefpunkt, bei A ist nicht klar, wie's dort weitergeht.

Auch bei B ist vollkommen unklar, wie es weitergeht.

13.10.2008, 18:29

Zelos

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Ich glaube, ich hab früher wirklich nicht aufgepasst...
Das habe ich schon ewig nicht mehr gemacht.

Wie krieg ich die Gleichungen für das Gleichungssystem?
Die beiden Punkte hab ich eingesetzt und komme dadurch auf

$\begin{eqnarray*} -600³a + 600²b -600c - 200 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} d = -200 \end{eqnarray*}$

Wie krieg ich denn jetzt die anderen beiden Gleichungen, die ich brauche?
Soweit ich mich erinnern kann, brauch ich bei den verbleibenden 3 Unbekannten ja 3 Gleichungen.

Tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle. smile

smile

13.10.2008, 18:37

Jacques

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Also Du meinst sicher das Richtige, aber Du musst Deine Rechnungen unbedingt vernünftig aufschreiben:

Wenn der Punkt A(-600|0) auf dem Graphen von f liegt, dann gilt f(-600) = 0. Und diese Gleichung ist äquivalent mit

$\begin{eqnarray*} -600^3 \cdot a + 600^2 \cdot b - 600 \cdot c + d = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn der Punkt B(0|-200) auf dem Graphen liegt, dann gilt f(0) = -200, also

$\begin{eqnarray*} d = -200 \end{eqnarray*}$

Das sind schonmal zwei der benötigten vier Gleichungen.

Und jetzt musst Du die bekannten Steigungen ausnutzen: Die Tangentensteigung bei A und B ist 0.

13.10.2008, 18:50

Zelos

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Ich muss ja irgendwie in die Gleichungen a, b und c reinbekommen.
Da ist dann auch schon wieder Schluss.

Das Einzige, was mir einfallen würde, wäre, die allg. Geradengleichung herzunehmen...
Obwohl ich auch nicht wirklich verstehe, wie ich jetzt darauf gekommen bin.
Ist wohl absoluter Schwachsinn. smile

smile

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

und da die Steigung der Punkte einzusetzen...
Dann hätte ich ja bei beiden nach einsetzen der Steigung y = b, aber das hilft mir nicht weiter, denke ich.
Ist das die falsche Formel?

13.10.2008, 18:55

Jacques

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Mit einer Geradengleichung kommst Du nicht weiter.

Die Steigung im Punkt A ist 0. Über welche Funktion kann man jetzt eine Aussage treffen?

13.10.2008, 19:02

Zelos

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Über die erste Ableitung?
Wenn das stimmt, weiß ich danach aber schon wieder nicht weiter.
Der Thread wird noch über ein paar Seiten gehen, schätze ich... Hammer

Hammer

13.10.2008, 19:04

Jacques

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Zitat:

Original von Zelos

Über die erste Ableitung?

Genau. Und wie lautet die erste Ableitungsfunktion von f?

13.10.2008, 19:12

Zelos

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Zitat:

Original von Jacques

Zitat:

Original von Zelos

Über die erste Ableitung?

Genau. Und wie lautet die erste Ableitungsfunktion von f?

Von der allg. Gleichung, ja?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax²+2bx+c \end{eqnarray*}$

13.10.2008, 19:24

Jacques

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Genau. Und was gilt jetzt, wenn die Steigung an der Stelle -600 genau 0 ist? Und was ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph auch an der Stelle 0 die Steigung 0 hat?

13.10.2008, 19:26

Zelos

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Dann müsste die erste Ableitung an der Stelle -600 ja ebenfalls 0 sein, oder?
Also wäre die 3. Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3ax²+2bx+c = 0 \end{eqnarray*}$

?

13.10.2008, 19:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacques
Eine Ergänzung übrigens noch:

Zitat:

Original von Zelos

B ist ja Tiefpunkt, bei A ist nicht klar, wie's dort weitergeht.

Auch bei B ist vollkommen unklar, wie es weitergeht.

Also so unklar ist das nicht, da sich da laut Aufgabe ein Viertelkreis anschließt. Lehrer

Lehrer

Aber das ist jetzt erstmal unerheblich.

13.10.2008, 19:43

Jacques

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Zitat:

Original von Zelos

Dann müsste die erste Ableitung an der Stelle -600 ja ebenfalls 0 sein, oder?
Also wäre die 3. Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3ax²+2bx+c = 0 \end{eqnarray*}$

Deine Feststellung stimmt, aber Du hast sie nur halb umgesetzt.

Wenn die Steigung an der Stelle -600 genau 0 ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(-600) = 0 \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann die dritte Gleichung?

Und wie die vierte?

// @ klarsoweit: Ja, aber der Viertelkreis gehört ja nicht zum Graphen der Polynomfunktion.

13.10.2008, 19:54

Zelos

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Wenn f'(-600) = 0 ist, dann sollte die dritte Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3*(-600)²a-1200b+c=0 \end{eqnarray*}$

sein...
Also -600 für x eingesetzt.

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das für den Punkt B genau so machen kann, aber wenn ich für x den x-Wert von B einsetze (0), erhalte ich

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

13.10.2008, 20:03

Jacques

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Zitat:

Original von Zelos

Wenn f'(-600) = 0 ist, dann sollte die dritte Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3*(-600)²a-1200b+c=0 \end{eqnarray*}$

sein...
Also -600 für x eingesetzt.

Stimmt genau. Freude

Freude

Du kannst das Minuszeichen bei (-600)² noch weglassen, denn beim Quadrieren fällt es ja sowieso weg.

Zitat:

Original von Zelos

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das für den Punkt B genau so machen kann, aber wenn ich für x den x-Wert von B einsetze (0), erhalte ich

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

Einwandfrei! Freude

Freude

Damit hast Du alle vier Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} -600^3 \cdot a + 600^2 \cdot b - 600 \cdot c + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = -200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot (600)² \cdot a - 1200 \cdot b+c=0 \end{eqnarray*}$

Und dieses Gleichungssystem musst Du jetzt lösen. Der erste Schritt wäre sicherlich, c = 0 und d = -200 überall einzusetzen.

13.10.2008, 20:15

Zelos

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Da kommen krumme Zahlen raus, oder?
Ich komme da ehrlich gesagt auf gar kein Ergebnis.
Das Einzige, was ich rausgefunden habe, ist, dass b deutlich größer als a sein müsste, aber ich kann das irgendwie nicht lösen...
Ich weiß nichtmal, wie ich jetzt anfangen soll mit den ganzen Exponenten.
Wenn ich das ausrechne, kommen da irre lange Zahlen raus, und die helfen mir leider auch nicht weiter.

13.10.2008, 20:32

Jacques

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Na ja, man muss natürlich wegen der 600³ und 600² mit sehr großen Zahlen arbeiten, aber weil man im Endeffekt nur ein System aus zwei Gleichungen lösen muss, ist das wohl nicht soo dramatisch -- auch wenn die Ergebnisse tatsächlich "krumm" sind.

$\begin{eqnarray*} -600^3 \cdot a + 600^2 \cdot b -200 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 600² \cdot a - 1200 \cdot b=0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere die obere Gleichung mit 3 und die untere mit 600. Dann kannst Du die untere zur oberen addieren, sodass a wegfällt.

13.10.2008, 20:53

Zelos

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Sowas konnte ich noch nie. unglücklich

unglücklich

Ich hoffe, ich hab das jetzt richtig ausgerechnet und gekürzt.

$\begin{eqnarray*} a=1/2700000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1/3000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=-200 \end{eqnarray*}$

Wenn das jetzt richtig sein sollte, dann wär die Zielfunktion folgende, richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=1/2700000x³+1/3000x²-200 \end{eqnarray*}$

Das kommt mir so komisch vor...
Sicher, dass da so etwas rauskommt? verwirrt

verwirrt

13.10.2008, 21:07

Jacques

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Irgendwo ist noch ein Rechenfehler -- was bei den Zahlen ja auch kein Wunder ist. unglücklich

unglücklich

Also das korrekte Ergebnis lautet

$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{540\,000} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{600} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = -200 \end{eqnarray*}$

13.10.2008, 21:16

Zelos

Auf diesen Beitrag antworten »

a ist ja so lang, dass ich das nichtmal ohne Weiteres in meinen Taschenrechner eingeben kann...

Aber wenn's der Profi sagt, wird's schon stimmen. smile

smile

Ich werd das später nochmal durchrechnen.

Die fertige Funktion lautet dann also

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{540\,000}x³+\frac{1}{600}x²-200 \end{eqnarray*}$

Dann müsste ich das nur noch zeichnen.
Das sollte dann am Ende genau so aussehen wie der Abschnitt I in der Abbildung?
Eine Wertetabelle müsste da reichen, oder?

edit: Das ist aber auch 'ne Arbeit mit diesem Latex. smile

smile

13.10.2008, 21:23

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zelos

a ist ja so lang, dass ich das nichtmal ohne Weiteres in meinen Taschenrechner eingeben kann...

Aber wenn's der Profi sagt, wird's schon stimmen. smile

smile

Ich werd das später nochmal durchrechnen.

Wenn es nur mein eigenes Ergebnis wäre, dann hätte ich Dir das schon gesagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber der Rechner gibt dasselbe aus:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm

Deswegen darf man das wohl als richtig annehmen. Wobei Du natürlich auf jeden Fall nochmal nachrechnen solltest, schließlich musst Du es ja am Ende können!

Zitat:

Original von Zelos

Dann müsste ich das nur noch zeichnen.
Das sollte dann am Ende genau so aussehen wie der Abschnitt I in der Abbildung?
Eine Wertetabelle müsste da reichen, oder?

Ja. Denke aber daran, dass sich alles in sehr großem Maßstab abspielt. Also Du solltest jetzt nicht in 1er-Schritten die Funktionswerte ermitteln, sondern eher in 100er-Schritten.

Am Ende musst Du auch die Skala des Koordinatensystems entsprechend groß wählen.

Zitat:

Original von Zelos

edit: Das ist aber auch 'ne Arbeit mit diesem Latex.

Klar, aber finde ich klasse, dass Du es trotzdem damit eingibst. Freude

Freude

13.10.2008, 22:20

Zelos

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Die Aufgabe hätte ich dann wohl fertig.
Vielen, vielen Dank.

Ich melde mich dann nochmal, falls ich bei den anderen Probleme habe (was ich wahrscheinlich haben werde).

Also, wie gesagt... danke nochmal. smile

smile

14.10.2008, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zelos
Das sollte dann am Ende genau so aussehen wie der Abschnitt I in der Abbildung?

Das können wir uns ja mal ansehen:

14.10.2008, 08:55

Jacques

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Und mit dem Ergebnis wäre dann vielleicht auch bewiesen, dass man nicht einfach nach Belieben zusätzliche Annahmen machen kann, ohne a) die Aufgabe unlösbar zu machen [wie das hier passiert wäre!] oder b) sie vollkommen zu verändern.

Zitat:

Original von Zelos

Was meine Lehrerin uns sagte, ist, dass wir annehmen sollen, dass A ein Wendepunkt und gleichzeitig Sattelpunkt ist.

14.10.2008, 21:01

Zelos

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Ich habe mal noch kurz eine Frage zum Lösungsansatz selbst.
Wie komme ich überhaupt darauf, dass der Grad des Polynoms 3 ist?
Ich wusste anfangs nur, dass er mindestens 3 sein muss, aber nicht, dass er auch genau das ist.
Er hätte ja auch genau so gut 4 oder 5 sein können.
Wie kann ich das denn ausschließen?

14.10.2008, 21:05

Jacques

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Für einen höheren Grad hätten einfach die gegebenen Informationen nicht ausgereicht, um auf eine eindeutige Lösung zu kommen.

Aus n Eigenschaften kann man -- von Spezialfällen (Symmetrie) abgesehen! -- nur eine Funktion (n-1)ten Grades bestimmen.

14.10.2008, 21:22

Zelos

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Ah, ok.
Und dann noch kurz eine Frage zum Gleichungssystem...

Ich habe ja die obere Gleichung mit 3 und die untere mit 600 multipliziert und erhalte

$\begin{eqnarray*} -648000000a+360000b-600=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 648000000a-720000b=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die jetzt addiere, erhalte ich bei der oberen nachher

$\begin{eqnarray*} -360000b = 600 \end{eqnarray*}$

und würde für b folglich -1/600 rausbekommen.
Wieso kommt da jetzt 1/600 raus?

14.10.2008, 21:31

Jacques

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Du hast den Faktor vor b vergessen, als Du die obere Gleichung mit 3 multipliziert hast:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 600^2 \cdot b = 1\,080\,000 \end{eqnarray*}$

// Übrigens: Ich würde nicht immer sofort jede Potenz berechnen, vor allem dann, wenn die Zahlen sehr groß sind. Teilweise hat man noch die Chance, geschickt umzuformen und landet gleich bei den Ergebnissen. [hier aber nicht unbedingt]

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