Herleitung der Taylorformel

13.10.2008, 15:04

Unregistriert

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Herleitung der Taylorformel

Hallo,
ich bin auf der Suche nach einer Herleitung der Taylorformel. Überall wird die Formel als gegeben betrachtet, nur sie wird ja wohl nicht vom Himmel gefallen sein.
Ich weiß nicht obs richtig ist, aber ein möglicher Ansatz könnte ja sein: $\begin{eqnarray*} f(x+h)&=f(x)+hf'(x) \end{eqnarray*}$ (Für entsprechend kleines h), bleibt nur das lästige h.
Kann mir da jemand helfen?
danke schomal im vorraus

13.10.2008, 22:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Unregistriert
$\begin{eqnarray*} f(x+h)&=f(x)+hf'(x) \end{eqnarray*}$

Willst du die Taylorformel oder den Mittelwertsatz?

14.10.2008, 01:36

Mathewolf

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Wie Mathespezialschüler schon sagte, hat die Beziehung $\begin{eqnarray*} f(x+h)&=f(x)+hf'(x) \end{eqnarray*}$ nicht viel mit der Taylor-Formel zu tun.
Betrachten wir uns zunächst einmal den eindimensionalen Fall: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\ \longrightarrow\ \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

Die Idee ist, daß jede glatte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Polynomdarstellung $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ besitzt. (Dies sei der Einfachheit halber vorausgesetzt, denn auch wenn es ein Polynom $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ gibt, bedeutet es nicht, daß $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren muß.)
Es muß also folgende Beziehung gelten:
Sei $\begin{eqnarray*} \xi\in D_f \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k_{\xi}}(x-\xi)^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist dabei der Punkt, um den $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ entwickelt wird. So, jetzt müssen nur noch die Parameter $\begin{eqnarray*} a_{k_{\xi}} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Versuch hier mal weiter zu machen. smile

smile

14.10.2008, 02:26

Unregistriert

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Solangsam wird mir das ganze klar.
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe will man eine beliebig oft differenzierbare Funktion durch eine Summe von Polynomen approximieren. So und verschnörkelte E, dessen name mir grad nicht einfällt muss ja theoretisch eine Nullstelle von f sein (Ich ersetze E einfach mal durch Eta)
$\begin{eqnarray*} f(\eta)&=0 \end{eqnarray*}$

14.10.2008, 02:35

WebFritzi

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RE: Herleitung der Taylorformel

Zitat:

Original von Unregistriert
Überall wird die Formel als gegeben betrachtet, nur sie wird ja wohl nicht vom Himmel gefallen sein.

Nein, das ist sie nicht. Es geht darum, dass man eine Funktion f wenn möglich als Potenzreihe darstellen will. Eine Potenzreihe ist sozusagen ein "verallgemeinertes Polynom" und hat ganz tolle Eigenschaften. Beschäftigen wir uns also erstmal mit Potenzreihen. Die sehen so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k (x - x_0)^k,\quad a_k\in\mathbb R. \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der sogenannte Entwicklungspunkt. Die Reihe konvergiert für jedes x aus dem sogenannten Konvergenzkreis (in IR: Konvergenzintervall) um den Entwicklungspunkt. Diesen Konvergenzkreis wollen wir mal mit K bezeichnen. Für x aus K ist also

$\begin{eqnarray*} f(x) := \sum_{k=0}^\infty a_k (x - x_0)^k \end{eqnarray*}$

eine wohldefinierte Funktion. Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f : K\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbar ist und dass

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \end{eqnarray*}$

gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$ Das heißt, es gilt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k, \end{eqnarray*}$

und das ist wohl die Taylorformel, die du meinst.

14.10.2008, 02:36

Mathewolf

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Nein, man will $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch ein Polynom darstellen (keine Summe von Polynomen).
$\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ (sprich Xi) ist der Punkt, um den die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in dem Taylor-Polynom $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ entwickelt wird.

Edit:
Webfritzi war schneller und hat eigentlich schon alles gesagt. Freude

Freude

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14.10.2008, 02:49

Unregistriert

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Also der kleine Post da eben sollte eigentlich noch das hier beinhalten, aber ich hab irgendwie auf abschicken geklickt.

... Also kann ich den Entwicklungspunkt auch Nullstelle nennen, oder?
Wenn ich f jetzt an dieser Stelle approximieren will, tu ich das ja am besten durch $\begin{eqnarray*} f(\eta) \end{eqnarray*}$ , das wäre schonmal der erste Summand. Wenn ich f jetzt nahezu an ein paar Punkten um $\begin{eqnarray*} f(\eta) \end{eqnarray*}$ approximieren will tu ich das ja mit der Tangente.

Das zweite Glied ist also:
$\begin{eqnarray*} f'(\eta)(x-\eta) \end{eqnarray*}$

Also:
1. $\begin{eqnarray*} f^{(0)}(\eta)(x-\eta)^0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f^{(1)}(\eta)(x-\eta)^1 \end{eqnarray*}$

Und daraus könnte man ja 3. erraten:
3. $\begin{eqnarray*} f^{(2)}(\eta)(x-\eta)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt dürfte ich ja eigentlich behaupten das f(x) ungefähr dem unteren Term ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}b_k f^{(k)}(x-\eta)^k \end{eqnarray*}$

Also soweit wäre ich jetzt schonmal, ich lese mal grade die Post die ihr gemacht habt während ich das hier geschrieben hab.

Ich bin also bis auf die Fakultät ungeähr an dem Punkt den WebFritzi meint.
Jetzt müsste ich nurnoch irgendwie die Fakultät dazu bekommen.

14.10.2008, 09:29

Mathespezialschüler

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Dass der Entwicklungspunkt eine Nullstelle ist, ist falsch. Es gibt in der Taylorreihe immer ein absolutes Glied. Ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt, so gilt für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Konvergenzintervall

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\ldots \end{eqnarray*}$ .

Dabei gibt es das absolute Glied $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0)}{0!}=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Du hast in deinem letzten Post übrigens die Bildungsweise der Summanden falsch verstanden. Es fehlt immer ein $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ im Nenner. Es ist zwar richtig, dass die ersten beiden Summanden sogut wie immer ohne Nenner auftreten, das liegt aber einfach daran, dass $\begin{eqnarray*} 0!=1!=1 \end{eqnarray*}$ ist und man das nicht extra in den Nenner schreibt. Ich habe es jetzt oben einmal getan, damit du das System dahinter verstehst.

14.10.2008, 13:38

Unregistriert

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Das System hinter Reihen ist mir schon klar. Nur ich kann mit dem Wissensstand aus meinem letzten Post ja höchsten vermuten das es noch einen weiteren Faktor gibt. ich weiß ja nur das der weitere Faktor, wenn er da wäre in den ersten zwei Summanden 1 sein müsste. Also eine Folge mit:
$\begin{eqnarray*} a_0&=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1&=1 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist ja, das man in der Herleitung noch nicht weiß wie das Endergebnis genau aussieht.
Und mir fällt kein Weg ein den Faktor zu ermitteln.

Und zum Entwicklungspunkt: Ich kann den Entwicklungspunkt also beliebig wählen? Also jenachdem um welchen Punkt ich die Funktion interpolieren will?

14.10.2008, 14:35

WebFritzi

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Bilde die j-te Ableitung und setze den Entwicklungspunkt ein.

14.10.2008, 15:05

Unregistriert

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Das wäre:

$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x_0) \end{eqnarray*}$

Nur wie hilft mir das genau weiter?

14.10.2008, 15:10

WebFritzi

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Du hast doch schon

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^\infty b_k f^{(k)}(x_0)(x - x_0)^k \end{eqnarray*}$

gehabt. Bilde da mal die j-ten Ableitungen.

14.10.2008, 15:21

Unregistriert

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ok

$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}b_kf^{(k)}(x_0)\frac{k!}{(k-j)!}k(x-x_0)^{(k-j)} \end{eqnarray*}$

Ja jetzt ist eine Fakultät drin, und auch j, nur umstellen geht wegen dem Summenzeichen immer noch nicht

14.10.2008, 15:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Unregistriert
$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}b_kf^{(k)}(x_0)\frac{k!}{(k-j)!}k(x-x_0)^{(k-j)} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Du musst bei der Summe mit k = j beginnen. Setze dann x_0 ein. Und beachte, dass bei Potenzreihen die Konvention 0^0 = 1 gilt.

14.10.2008, 15:51

Unregistriert

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Oh stimmt, es fallen ja j glieder weg.
Achso dann berechne ich das erste Summenglied:
Und nur bei dem tritt 0^0 auf, alle anderen werden dann 0.

$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x)=b_kf^{(j)}(x_0)j!0^0+\sum_{k=j+1}^{\infty}b_kf^{(k)}(x_0)\frac{k!}{(k-j)!}(x-x_0)^{k-j} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x_0)=b_kf^{(j)}(x_0)j! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=b_kj! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{j!} \end{eqnarray*}$

So müsste es wohl richtig sein, oder?

14.10.2008, 15:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Unregistriert
$\begin{eqnarray*} f^{(j)}(x_0)=b_kf^{(j)}(x_0)j! \end{eqnarray*}$

Was ist denn k?

14.10.2008, 16:02

Unregistriert

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k ist die Laufvariable, die ist aber in dem Term schon nichtmehr enthalten, es ist nurnoch der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ für k=j enthalten.

14.10.2008, 16:09

WebFritzi

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Warum schreibst du dann nicht $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ ? So wie du es geschrieben hast, macht es keinen Sinn, denn k ist dort nicht mehr definiert.

14.10.2008, 16:12

Unregistriert

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Jo, also ist
$\begin{eqnarray*} b_j=\frac{1}{j!} \end{eqnarray*}$

Und damit hätte ich ja auch den letzen Faktor.

Gibt es sonst noch etwas an der Taylorreihe was man da beachten müsste?
Also das Restglied z.b. Wenn ich die Unendliche Reihe verwende brauch ich das ja schon nichtmehr.

14.10.2008, 16:13

WebFritzi

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Die muss aber erstmal konvergieren. Das ist nicht immer der Fall.

14.10.2008, 16:22

Unregistriert

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Und rausfinden ob sie konvergiert tut man ja für gewöhnlich über Konvergenzkriterien.
Wenigstens hab ich jetzt die Herleitung. Und solange ich weiß das sie konvergiert ist ja alles ok.

Danke für die ausdauernde Hilfe!^^

09.02.2009, 20:48

servi

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x_0 muss keine Nullstelle sein
ich hab das gefühl, als hättest du die zusammenhänge icht ganz verstanden.
du hast irgendwo einen faktor her und vorher noch die potenz, aber bringst das ganze nicht unter einen Hut.
außerdem kann x_0 alles mögliche sein, nur bei f(x_0) = 0 kommt man zu deinem ergebnis mit b_j = 1/j!, was nicht allgemein der fall ist.

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