Beweis Infimum/Supremum

13.10.2008, 15:20

joecano100

Beweis Infimum/Supremum

hi!
komm momentan auf keinen grünen zweig, was den beweis für dieses bsp angeht:

Seien f : A -> K, g : A -> K Funktionen, von einer nichtleeren Menge A mit
Werten in einem geordneten Körper K.

inf f(a) sei definiert als $\begin{eqnarray*} \inf\{f(a)| a \in A\} \end{eqnarray*}$
analog dazu sei sup f(a) definiert.

Zu zeigen sei:

$\begin{eqnarray*} (\forall a\in A : f(a)\leq g(a))\Rightarrow \inf f(a) \leq \inf g(a) \end{eqnarray*}$

ebenso $\begin{eqnarray*} (\forall a\in A : f(a)\leq g(a))\Rightarrow \sup f(a) \leq \sup g(a) \end{eqnarray*}$

wobei man annehmen darf, dass alle inf,sup existieren.

wie könnte man das angehen?

13.10.2008, 15:32

klarsoweit

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RE: Beweis Infimum/Supremum
Müßte es nicht heißen:
$\begin{eqnarray*} \forall a\in A : f(a)\leq g(a))\Rightarrow \inf(f) \leq \inf(g) \end{eqnarray*}$ ?

Analog für das Supremum. Wenn ja, müßte da noch die Definition angepaßt werden.

13.10.2008, 16:13

joecano100

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nein stimmt schon so...aber bei der definition hab ich noch was vergessen:
es soll heißen
$\begin{eqnarray*} \inf (a\in A) f(a) \end{eqnarray*}$ (also das $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ steht unter dem $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ ) sei definiert als $\begin{eqnarray*} \inf \{f(a) | a\in A \} \end{eqnarray*}$

13.10.2008, 16:17

tmo

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Nehme z.b. $\begin{eqnarray*} \sup_{a \in A} f(a) > \sup_{a \in A} g(a) \end{eqnarray*}$ an und folgere, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} f(x) > \sup_{a \in A} g(a) \geq g(x) \end{eqnarray*}$

14.10.2008, 00:12

WebFritzi

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RE: Beweis Infimum/Supremum

Zitat:

Original von joecano100
inf f(a) sei definiert als $\begin{eqnarray*} \inf\{f(a)| a \in A\} \end{eqnarray*}$

Und wie ist das wiederum definiert? Auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ein angeordneter Körper. Aber es existiert nicht immer ein Infimum. Das ist also keine Definition.

14.10.2008, 00:38

Puchioholic

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RE: Beweis Infimum/Supremum
@joecano100: hihi, das klingt ganz nach Analysis beim Neubauer. Verbreite einmal in eurem Studiengang einmal dieses Forum. Das ist speziell für die JKU und dort wurde auch schon einiges an Vorarbeit geleistet. Das Bsp. ist allerdings (im vorigen Jahrgang) nicht dabei ^^

@ Moderatoren: Der Link soll keine allgemeine Werbung sein. Er bezieht sich nur auf die Übungszettel die an dieser Uni gegeben werden/wurden

@Webfritzi: In dem Beispiel darf davon ausgegangen werden, dass das inf bzw. sup existiert. Sollte halt erwähnt werden...