Flächen zwischen 2 Graphen

13.10.2008, 18:35

pweshuzz

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Flächen zwischen 2 Graphen

allo.. also ich soll nen flächeninhalt ausrechnen,der vom graphen f,der tangente P und der x-Achse begrenzt wird un die funktion dazu lautet f(x)=(x-2)^4 und P (0|16). mein eigentliches problem is.. alles worauf ich komm is dass ich sicher die Punkt-steigungs-form brauche un bei mir steht da bisjetzt y-16 =(4*8x-2)³)(x-0)...naya irgendwie weiß ich net ma wie man das ausrechnet un ob das überhaupt der richtige ansatz is

13.10.2008, 18:38

Q-fLaDeN

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Was willst du denn mit der Punkt-Steigungsform Ausrechnen? Die Steigung der Tangente kannst du mit dem Differentialquotienten berechnen, ja, aber wenn du es gleich nach Kettenregel ableitest geht es doch viel schneller.

Grüße Wink

Wink

13.10.2008, 18:42

pweshuzz

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auf die gefahr hin dass ich mich blamiere... was is das? ^^

13.10.2008, 18:44

Q-fLaDeN

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Eine Ableitungsregel. Sowas die die Produktregel oder Quotientenregel, nur eben für verkettete Funktionen.

Hattet ihr die wirklich noch nicht besprochen?

Und anders gesagt: Willst du anders an die Aufgabe heran gehen?

13.10.2008, 18:48

pweshuzz

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oh mann .. doch hatten wir,hab nur nich gemerkt dass das hier hin gehört xD
aber ähh..is die nich nur für stammfunktionen gedacht? hier brauch ich ja die 1.ableitung oder :S

13.10.2008, 18:52

Q-fLaDeN

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Die Kettenregel hat nichts mit der Stammfunktion zu tun. Man kann lediglich die Umkehrung der Kettenregel benutzen, um auf eine Stammfunktion zu schließen.
Mit der Kettenregel kann man Funktionen, die Verkettet, also in der Form $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) \end{eqnarray*}$ bzw. mehr Verkettungen vorliegen, differenzieren.
Geb es mal bei Wikipedia ein, und frische dein Wissen wieder ein wenig auf.

Also das erste was wir machen müssen, ist ja, die Tangente berechnen. Wie würdest du das jetzt machen?

Grüße Wink

Wink

\Edit: Ich muss weg, ich geb ab.

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13.10.2008, 18:58

tigerbine

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RE: Flächen zwischen 2 Graphen

Zitat:

Original von pweshuzz
allo.. also ich soll nen flächeninhalt ausrechnen,der vom graphen f,der tangente P und der x-Achse begrenzt wird

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)^4,~P (0|16) \end{eqnarray*}$

Wie lautet die Ableitungsfunktion? Da waren wir ja schon bei der Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4 \cdot (x-2)^3 \cdot 1 = 4(x-2)^3 \end{eqnarray*}$

Klar? Welche Steigung muss die Tangente haben?

13.10.2008, 19:06

pweshuzz

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ahm..wie gesagt ich hätte die punkt-steigungs-form genommen,aber wenns die nich is weiß ich au net ^^
ich hock grad immer noch an der kettenregel um ehrlich zu sein un ich checks nich.. bisher steht bei mir 4(x-2)³ ne,aber was mach ich dann damit?

13.10.2008, 19:11

pweshuzz

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ahh hi

Big Laugh

äh.. weiß nich =( muss ich die klammer dann ausmultiplizieren?

13.10.2008, 19:18

tigerbine

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Nein, du müßtest dich fragen, was die Ableitung einer Funktion "optisch" darstellt. Und was müssen eine Funktion und eine Tangente in einem Punkt an dieser Stelle - außer die Koordinaten - gemeinsam haben?

13.10.2008, 19:24

pweshuzz

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du sprichst in Rätseln =(
also die Ableitung ist die Steigung ne.. aber das is ja gar keine richtige steigung oder :S

13.10.2008, 19:32

tigerbine

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Richtig. Ableitung ist das Stiegungsverhalten von f. Welche Steigung hat f in P?

13.10.2008, 19:37

pweshuzz

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wie..berechne ich das?^^

13.10.2008, 19:39

tigerbine

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Indem du mit etwas mehr ernst an die Sache gehst? Wir wäre es mit f'(0)=?

13.10.2008, 19:44

pweshuzz

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sorry für dich mag das so aussehen als gäbe ich mir keine mühe,aber ich komm wirklich auf nichts.. wobei jetzt wo dus sagst leuchtet es mir ein thx
-32?

13.10.2008, 19:46

tigerbine

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Dann fassen wir mal zusammen und drücken was auf die Tube
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)^4,~P (0|16) \end{eqnarray*}$

Wie lautet die Ableitungsfunktion? Da waren wir ja schon bei der Kettenregel.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4 \cdot (x-2)^3 \cdot 1 = 4(x-2)^3 \end{eqnarray*}$

Klar? Welche Steigung muss die Tangente haben?

$\begin{eqnarray*} f'(0) = -32 \end{eqnarray*}$

Wie sieht dann die Tangente aus?

$\begin{eqnarray*} t(x)=-32\cdot(x-0) + 16 \end{eqnarray*}$

Das alles mal in einem Bild.

Welche Fläche ist nun gesucht?

Zitat:

Flächeninhalt ausrechnen,der vom Graphen f,der Tangente P und der x-Achse begrenzt

Bleibt also die FRage, wo schneiden der Graph und die Tangente die x-Achse?

13.10.2008, 19:58

pweshuzz

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ah.. also ich nehm an die fläche zwischen 0,5 und 1 ungefähr is gesucht?

13.10.2008, 19:59

tigerbine

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Ich stehe nicht so auf Schätzungen. Zumal es hier ja auch exakt geht. Wie kommst du rechnerisch auf die Werte?

13.10.2008, 20:13

pweshuzz

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y und f(x) gleichsetzen? um die schnittstellen herauszufinden und dann die intervalle einsetzen...wenn ja dann komm ich nur nich damit klar dass f(x) keine richtige zahl is,ansonsten wärs machbar für mich *_*

13.10.2008, 20:17

tigerbine

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Wie, dass f keine Zahl ist unglücklich

unglücklich

Du wirst doch Nullstellen berechnen können?

$\begin{eqnarray*} t(x)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -32\cdot(x-0) + 16 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-2)^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Tja, was konnte da wohl die Lösung sein?

13.10.2008, 20:22

pweshuzz

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ahhh.. 2 :$ ohh mann wie peinlich..aber.. wieso brauch ich die nullstellen um 2 gleichungen gleichzusetzen? dann hab ich doch erst die intervalle oder.. sry wenn ich dumm klinge aba ich bin grad leicht verwirrt

verwirrt

13.10.2008, 20:24

tigerbine

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Wir müssen doch wissen, wie die Eckpunkte der Fläche sind, um dann entsprechend das Integral zu formulieren. Also, wie lautet die Nullstelle von f?

13.10.2008, 20:30

pweshuzz

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ja stimmt,nur ich dachte die kriegt man erst nachdem man die nullstellen der gleichung berechnet hat,die man erhält, wenn man y und f(x) einander gleichsetzt..naya egal
so dann brauch ich wohl die stammfunktion von f(x)? welche $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$ sein müsste ne.. un dann die intervalle 0,5 und 2 einsetzen?

13.10.2008, 20:38

tigerbine

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Die gesuchte Fläche muss in 2 teilen berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{0.5}~f(x)-t(x)~dx + \int_{0.5}^2~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun darf man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{0.5}~f(x)-\int_0^{0.5}~t(x)~dx + \int_{0.5}^2~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Und zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2}~f(x)-\int_0^{0.5}~t(x)~dx \end{eqnarray*}$

Wie lauten also die Stammfunktionen F und T?

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x)=-32x + 16 \end{eqnarray*}$

Deine Stammfunktion ist falsch, einfaches ableiten zeigt dies auch sofort.

13.10.2008, 20:46

pweshuzz

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achso ich hab da ausversehn ein x zuviel gemacht..aber ohne das x vor der hochzahl 5 isses doch richtig oder?^^ und die andere stammfunktion müsste -16x²+16x
ah und muss ich jetzt die stammfunktionen in den jeweiligen intervallen voneinander abziehen und insgesamt zusammenrechnen?

13.10.2008, 20:49

tigerbine

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ja. Ich verabschiede mich damit Wink

Wink

13.10.2008, 20:51

pweshuzz

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ok danke ^^ bye

13.10.2008, 21:42

Q-fLaDeN

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@pweshuzz:
Falls bei dir noch ein Durcheinander zwecks der Nullstellen herrscht:
Man berechnet die Nullstellen einer Funktion indem man f(x) = 0 setzt, aber man berechnet den Schnittpunkt einer Funktion indem man g(x) = f(x) setzt.

Nur so am Rande
Grüße Wink

Wink

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