Länge einer Schnittkurve

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Länge einer Schnittkurve
Hi...

ich soll die Länge der Schnittkurve von der Kugeloberfläche

und dem Zylindermantel

bestimmen.

Leider wurden bei uns Kurvenintegrale so schnell durchgezogen, dass ich nicht wirklich was mitbekommen habe... - soviel: ich brauch ersteinmal eine Parametrisierung der Kurve - wahrscheinlich über b, weil ich dort ja schon Grenzen angegeben habe...

aber wie macht man das? - manchmal sehe ich Beispiele, die mit Vektoren arbeiten und manchmal wird mit Gleichungen wie bei der Beschreibung der Objekte von oben gearbeitet - welcher Zusammenhang besteht da?

könnt ihr mir helfen erstmal die Parametrisierung hinzukriegen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Länge einer Schnittkurve
Meine erste Idee sind elliptische Koordinaten: .

Wenn du jetzt noch die z-Koordinate geeignet ausdrücken kannst, solltest du die Parametrisierung deiner Kurve daraus zusammensetzen können.

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, also die Kurve ist ja symmetrisch bezüglich aller Standard-Ebenen. Also reicht es aus, die Kurve im ersten Oktanten zu betrachten, also x,y,z > 0. Man rechnet leicht aus, dass dann gilt:



und



Wir setzen mal c² = r² - b². Dann ist alles etwas kürzer. Für 0 <= z <= r² - b² = c² haben wir dann unsere Parametrisierung:



Ich denke, nun ist es nicht mehr schwer herauszubekommen, dass



ist. Nun noch mal 8, also




/EDIT: Wahrscheinlich ist es schöner, eine Parametrisierung je einer Hälfte der Gesatkurve zu bekommen und mit Kugelkoordinaten zu arbeiten. Aber das habe ich nicht hinbekommen. böse
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ok - bis du phi(z) aufstellst komme ich mit...

aber beim Integral: warum ist die obere Integrationsgrenze c ?

warum integriert man nach z ?

und das Integral zu berechnen ist auch kein Spaziergang - entweder ich mache immer wieder Fehler oder es ist doch so kompliziert wie es aussieht...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
ok - bis du phi(z) aufstellst komme ich mit...

Gut.

Zitat:
Original von Sunwater
aber beim Integral: warum ist die obere Integrationsgrenze c ?

Deshalb:


Zitat:
Original von Sunwater
warum integriert man nach z ?

Weil z der Parameter ist. Und es gilt nunmal


Zitat:
Original von Sunwater
und das Integral zu berechnen ist auch kein Spaziergang - entweder ich mache immer wieder Fehler oder es ist doch so kompliziert wie es aussieht...

Versuch mal herauszubekommen, dass

gilt. Dann substituierst du im oberen Integral z = c * sin(t).
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Und? Hast du's hinbekommen?
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ne ich habs wegen drohender Klausur erstmal auf Glatteis gelegt...

außerdem hab ich gehört, wir bekommen das Thema nochmal ausführlich in Maß-und Integrationstheorie und es war mehr ein Ausblick...

trotzdem danke
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
außerdem hab ich gehört, wir bekommen das Thema nochmal ausführlich in Maß-und Integrationstheorie

Hmmm... Ich wüsste nicht, wie das zu Maß- und Integrationstheorie passt. Ist für mich eher Analysis mit differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten.
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