Berechnung Hauptvektor 2-ter Stufe

17.07.2006, 15:05	stef123	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Hauptvektor 2-ter Stufe Hallo , folgendes Problem hab ich: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Es ist ein Vektor $\begin{eqnarray} v\neq 0 \end{eqnarray}$ gesucht mit $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^2v=0 \end{eqnarray}$ Ich habe gelesen, wenn $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, genügt es die die Gleichung $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)v=w \end{eqnarray}$ zu lösen. Jetzt soll ich diese Gleichung begründen. Mein Ansatz: Es gilt $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)w=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^2v=(A-\lambda E)w \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} \det (A-\lambda E) = 0 \end{eqnarray}$ . Also existiert $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^{-1} \end{eqnarray}$ nicht. Mit welcher Begrüngung kann ich $\begin{eqnarray} (A-\lambda E) \end{eqnarray}$ einfach rauskürzen? Oder ist mein Ansatz total falsch?
17.07.2006, 15:18	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das rechtens sehe, dann musst du hier aufpassen, du kannst da nämlich nicht ohne weiteres immer in beide Richtungen lesen. Wenn A nicht invertierbar ist, dann folgt aus $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ trotzdem $\begin{eqnarray} Ax=Ay \end{eqnarray}$ . Die Umkehrung muss aber nicht gelten! In deinem Falle, ich schreibe B für das ganze "A-....": gilt Bv=w, dann gilt auch B^2v=Bw=0, also DANN ist v auch ein EV. Gilt aber B^2v=Bw, dann muss Bv=w nicht gelten. Du findest mit dem Verfahren also i.A. nicht alle Eigenvektoren, aber alle, die du findest, passen auch.

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