Hauptzweig des Logarithmus

14.10.2008, 10:26	Muffi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptzweig des Logarithmus Hi zusammen, ich habe wahrscheinlich einen Denkfehler bei dem Hauptzweig des Logarithmus. Wir haben ihn in der Vorlesung auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C}=\mathbb{C}\setminus \{0\} \end{eqnarray}$ definiert: $\begin{eqnarray} Log: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}, z\mapsto ln(\|z\|)+i\cdot arg(z) \end{eqnarray}$ Für jeden Zweig des Logarithmus muss seine Ableitung ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ sein. Aber ich weiß doch, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ nur auf der längs der negativen reellen Achse geschitzten Ebene eine Stammfunktion hat, da ich sonst eine (kleine) Kreisscheibe $\begin{eqnarray} K_r \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ um 0 finden könnte, so dass $\begin{eqnarray} \int_{\partial K_r}\frac{1}{z}=2\pi i\neq 0 \end{eqnarray}$ . Das passt ja auch zu unserem Äquivalenzsatz für den Logarithmus, der besagt, dass ein Zweig des Logarithmus existiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion hat und genau dann, wenn für jeden Zyklus $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ die Windungszahl von 0 $\begin{eqnarray} n_{\Gamma}(0)=0 \end{eqnarray}$ ist. Aber in der obigen Definition kann ich einen Zyklus $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ um 0 finden, so dass $\begin{eqnarray} n_{\Gamma}(0)\neq 0 \end{eqnarray}$ (nämlich eine Kreisscheibe) und trotzdem haben wir einen Logarithmus. Wer kann meinen Denkfehler auflösen?
14.10.2008, 11:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist jetzt nicht klar, wo du ein Problem siehst: Natürlich kannst du den Logarithmus wie oben geschehen auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^ := \mathbb{C}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ definieren. Das heißt aber noch lange nicht, dass diese Funktion auf dem gesamten Gebiet $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^* \end{eqnarray}$ holomorph ist: Ist sie nämlich nicht, auf der negativen reellen Achse ist sie nicht mal stetig, da es dort einen "Sprung" von $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray*}$ gibt.
14.10.2008, 11:28	Muffi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh. Natürlich...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »