Bedingte Wahrscheinlichkeiten

17.07.2006, 19:51	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Ich habe komischerweise ziemliche Probleme bei folgender Aufgabe...obwohl's nun wirklich Uralt-Stoff ist. Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind einfach nicht meine Stärke. Bei der Gütekontrolle von Festplatten ist folgendes bekannt: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine fehlerfreie Festplatte als fehlerfrei eingestuft wird, beträgt 99%. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine defekte Festplatte als defekt eingestuft wird, beträgt 90%. Im Schnitt ist eine von 20 Festplatten defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Festplatte, die als fehlerfrei eingestuft wurde, auch wirklich fehlerfrei ist? Meine Lösung lautet: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ~ HDD fehlerfrei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ~ defekt $\begin{eqnarray} C_0 \end{eqnarray}$ ~ als fehlerfrei eingestuft $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ ~ als defekt eingestuft $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ~ richtig eingestuft $\begin{eqnarray} P(C_0 \| A) = 0,99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(C_1\|B) = 0,9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A) = 0,95 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(B) = 0,05 \end{eqnarray}$ Dann ist (hoffentlich) $\begin{eqnarray} P(C) = P(C_0 \| A) \cdot P(A) ~ + ~ P(C_1 \| B) \cdot P(B) = 0,9855 \end{eqnarray}$ Gesucht ist nun $\begin{eqnarray} P(A\|C_0) =^{Bayes} \frac{P(C_0 \| A) \cdot P(A)}{P(C)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{0,99 \cdot 0,95}{0,9855} \approx 95,43% \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich auch unbedingt wissen, ob das so stimmt.
17.07.2006, 20:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Also ich hätte das so gemacht: wir haben das Ergeiniss/Gegenergeignis A: Platte IST fehlerfrei B: Platte IST defekt Dabei gilt laut Angabe: P(A) = 1 - P(B) = 0.95 P(B) = 1/20 = 0.05 C: Platte wird als fehlerfrei EINGESTUFT D: Platte wird als fehlerhaft EINGESTUFT Dazu lautet die Angaben: Vor: Platte IST defekt - Ereignis Platte als defekt EINGESTUFT $\begin{eqnarray} P_{B}(D) = 0.90 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{B}(C) = 0.10 \end{eqnarray}$ Vor.:Platte IST Fehlerfrei - Ergeinis: als fehlerfrei EINGESTUFT $\begin{eqnarray} P_{A}(C)=0.99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{A}(D) = 0.01 \end{eqnarray}$ Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} P_{C}(A) \end{eqnarray}$ Mit der Formel von Bayes Ergibt sich: $\begin{eqnarray} P_{C}(A) = \frac{P_{A}(C) \cdot P(A)}{P_{A}(C) \cdot P(A)+P_{B}(C) \cdot P(B)} \end{eqnarray}$

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