Welche Substitution

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18.07.2006, 00:10

Torben

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Welche Substitution

intergral 1/(x³+5)dx

Soll man da mit Substitution vorgehen?

18.07.2006, 00:36

JochenX

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wer gibt dir denn so was scheußliches?
gibs doch mal beim onlineintegrator ein und staune (oder kotze)

18.07.2006, 00:43

Torben

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Das hat uns unser Mathelehrer für die Sommerferien gegeben. Er meinte die guten schaffen es in 30min.

18.07.2006, 01:18

Marcyman

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Sieht schlimmer aus als es ist, aber dann wiedrrum: Ich würds nicht rechnen wollen Augenzwinkern

Jedenfalls reicht Substitution hier nicht aus, da musste schon ein wenig tricksen. Nullergänzungen und part. Integration helfen weiter. Meld dich nochmal fallst du nicht weiterkommst

18.07.2006, 02:27

sqrt(2)

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Zitat:

Original von LOED
gibs doch mal beim onlineintegrator ein und staune (oder kotze)

... und zwar, weil er ein falsches Ergebnis ausgibt, dank des für alle x negativen Polynoms als Argument des zweiten ln.

Zitat:

Original von Marcyman
Jedenfalls reicht Substitution hier nicht aus, da musste schon ein wenig tricksen

Wieso? Wenn man sich durch die Partialbruchzerlegung quält, kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^3+5}~\dx &=& \int~\frac{1}{3\cdot5^\frac{2}{3}} \left(\frac{1}{x + 5^\frac{2}{3}}-\frac{x - 2\cdot5^\frac{1}{3}}{x^2 - 5^\frac{1}{3}x + 5^\frac{2}{3}}\right)~\dx \\ &=& \int~\frac{1}{3\cdot5^\frac{2}{3}} \left(\frac{1}{x + 5^\frac{2}{3}} - \frac{1}{2}\left(\frac{2x - 5^\frac{1}{3}}{x^2 - 5^\frac{1}{3}x + 5^\frac{2}{3}} - \frac{3\cdot5^\frac{1}{3}}{x^2 - 5^\frac{1}{3}x + 5^\frac{2}{3}}\right) \right)~\dx \end{eqnarray*}$

Keine Tricksereien, für den Teil rechts braucht man noch $\begin{eqnarray*} u=\frac{2x+5^\frac{1}{2}}{\sqrt{3}\cdot5^\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ .

18.07.2006, 07:54

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Scheußlich sehen doch nur die vielen Wurzeln aus. Und das kann man (zumindest zwischendurch) reduzieren durch die naheliegende lineare Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{5}z \end{eqnarray*}$ , so dass man sich erstmal $\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{\mathrm{d}z}{z^3+1} \end{eqnarray*}$ widmen kann.

18.07.2006, 20:39

Troben

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Also, ich glaube das ist mir zu kompliziert. Aber ich finds schon fazinierend, dass du hier von naheliegender Substitution sprichtst, Arthur Dent.

18.07.2006, 20:40

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Wenn man von $\begin{eqnarray*} x^3+5 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} z^3+1 \end{eqnarray*}$ übergehen will, ist das durchaus naheliegend. Augenzwinkern

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