Gerade - Richtungsvektor ändern

14.10.2008, 19:26

joeehhii

Gerade - Richtungsvektor ändern

Guten Tag.

Wie ändere ich den Richtungsvektor einer Geraden so, dass der sich neu ergebende Richtungsvektor orthogonal zur Geraden verläuft? Ein Kriterium ist ja, dass das Skalarprodukt ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq 0, \vec{y} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) gleich Null ist.

Gibt es einen weiteren, einfacheren Weg?

Gruß, joeehhii

14.10.2008, 19:37

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch schon ein sehr einfacher Weg. Du kannst doch schon zwei Komponenten des neuen Vektors frei bestimmen. Der Rest ist nur noch eine einfache Gleichung.

Gegeben: alter Richtungsvektor: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht: senkrechter Vektor: $\begin{eqnarray*} \vec{y}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bedingung: $\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0 \end{eqnarray*}$

Wähle zwei Variablen frei, z.B. $\begin{eqnarray*} y_1=1,y_2=1 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3y_3=0~\Leftrightarrow~y_3=\frac{-x_1-x_2}{x_3} \end{eqnarray*}$

Ein senkrechter Vektor ist also $\begin{eqnarray*} \vec{y}=\begin{pmatrix}1\\1\\\frac{-x_1-x_2}{x_3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.10.2008, 19:58

joeehhii

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt gerade einmal durchgerechnet, komme aber nicht zum richtigen Ergebnis (Elemente der Mathematik 12/13 Schroedel, S. 263 Nr. 2 f)).

Gegeben ist die Gerade

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{8}{3} \\ \frac{10}{3} \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und der Punkt A

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wird der Spiegelpunkt A' gesucht und soll an der Geraden g gespiegelt werden. Es wird doch in der Regel senkrecht gespiegelt?
Ich suche daher den Punkt, der:
1. auf der vorgegeben Geraden liegt
2. orthogonal zum Punkt P ist

Da treffen jetzt nun 2 Voraussetzungen aufeinander...das macht für mich das Ganze ein wenig schwierig. Ich kann natürlich "knoblen" und neue Ortsvektoren suchen, dessen Skalarprodukt mit dem Punkt P 0 ist, jedoch muss dieser ja zusätzlich auf der Geraden liegen...

Gruß, joeehhii

14.10.2008, 20:11

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

lege doch durch den punkt eine ebene, die die gerade senkrecht schneidet...dann bekommst du den schnittpunkt....
da du ja bereits den punkt A hast, kannst du nun einfach an den schnittpunkt den vektor AS (S für shcnittpunkt) "anheften"

14.10.2008, 20:19

joeehhii

Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenengleichungen haben wir noch nicht behandelt oder bin ich gerade auf dem falschen Dampfer?

Gruß, joeehhii

14.10.2008, 21:53

joeehhii

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das Problem gelöst.
Mit einem Lot... smile

~ Close please ~

14.10.2008, 21:53

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von joeehhii
Gegeben ist die Gerade

[...]
Und der Punkt A

Aha, davon hast du oben nichts gesagt

Mein Ansatz wäre folgender: du hast den Richtungsvektor der Geraden, in deinem Fall $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum anderen erstellst du dir einen Verbindungsvektor von A zu einem allgemeinen Punkt der Geraden.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4\\6\\1\end{pmatrix}-\left[\begin{pmatrix}\frac{8}{3}\\\frac{10}{3}\\2\end{pmatrix}+\alpha\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}4-\frac{8}{3}-\alpha\\6-\frac{10}{3}-4\alpha\\1-2+3\alpha\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren berechnen und nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auflösen.

EDIT

Eine Minute zu spät.... Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Gerade - Richtungsvektor ändern

Verwandte Themen