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14.10.2008, 20:26

cmm

Lgs

Wie bestimmt man bei einem lgs folgendes:

a) Basislösung

b) allgemeine Lösung

????

14.10.2008, 20:31

Dual Space

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RE: Lgs
Das steht alles hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem.

Falls du konkrete Fragen haben solltest, kannst du dich ja hier wieder melden.

15.10.2008, 16:09

cmm

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RE: Lgs
hallo,

bei den einfachen hab ich auch weniger Schwierigkeiten.

Ich habe folgendes Gleichungssystem:
(War ne Prüfungsaufgabe)

2x - 6y + 4z = -2
3x - 15y + 12z = 3
-6x + 30y - 24z = -6

Aufgabenstellung:
a) Rang bestimmen (klar ist einfach)
b) allgemeine Lsg bestimmen
c) alle? Basislösungen angeben

Woran sehe ich wieviele es gibt?
an der Anzahl der Variablen?

15.10.2008, 16:41

mYthos

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An der Anzahl der Variablen siehst du den höchstmöglichen Rang der Koeffizientenmatrix. Ist er 3 (für ein lGS in 3 Variablen), dann gibt es nur eine Lösung. Wenn er kleiner als 3 ist - was hier der Fall ist -, kann es unendlich viele Lösungen oder auch keine geben. Dies wird in der Folge durch die Konstanten auf der rechten Seite entschieden.
Das hier angeschriebene lGS ist übrigens abhängig. Was folgt daraus für die Lösung?

mY+

16.10.2008, 18:58

cmm

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Allgemeine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_{3}= \lambda ,x_{2}=\lambda -1, x_{1}=\lambda -4:\vec{x} =\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Basislösung:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Basislösung:
$\begin{eqnarray*} x_{3}= 1 ,x_{2}=0, x_{1}=-3: \vec{x} =\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Basislösung:
$\begin{eqnarray*} x_{3}= 4 ,x_{2}=3, x_{1}=0: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse sind zwar richtig, ich weiß aber nicht wie ich darauf komme.

Edit(mY+): LaTex korrigiert! Innerhalb LaTex sind keine "harten" Zeilenumbrüche möglich.

18.10.2008, 00:44

mYthos

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Bei Subtraktion der 2. und 3. Zeile erhalten wir eine Nullzeile. Daher ist das lGS abhängig und liefert unendlich viele Lösungen.

In diesem Fall kann eine der Variablen durch einen Parameter, z:b: $\begin{eqnarray*} x_3 = \lambda \end{eqnarray*}$ ersetzt und damit in die beiden anderen unabhängigen Gleichungen (1 und 2 oder 1 und 3) eingegangen werden.

Dies hast du ja offensichtlich auch gemacht und deine allgemeine Lösung ist auch richtig.
Daraus hast du dann für 3 verschiedene Werte des Parameters (0, 1 und 4) einzelne Lösungen erstellt und diese als Basislösungen bezeichnet. Das stimmt aber nicht, denn infolge des Ranges 2 sind diese drei Lösungen nicht voneinander unabhängig (was sie für Basislösungen aber sein müssten), sondern linear abhängig. Das ist auch deswegen klar, da die 3 durch den Lösungsvektor bestimmten Punkte auf einer Geraden liegen (d. i. die Schnittgerade der durch die zwei unabhängigen Gleichungen bestimmten Ebene).

Die lineare Abhängigkeit deiner drei Lösungen erkennst du schließlich auch daran, dass die Differenz von 4 mal der 2. Lösung und 3 mal der 1. Lösung genau die 3. Lösung ergibt.

Somit gibt es jeweils nur zwei voneinander unabhängige Basis-Lösungen. Geometrisch sind dies zwei Vektoren, die eine Ebene aufspannen, die den Nullpunkt und die o.a. Schnittgerade enthält.

mY+

18.10.2008, 14:48

cmm

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Danke für die Antwort.

Ich bin nur erstaunt das die Lösung offensichtlich falsch ist.

Ist die Musterlösung von meinem Prof.

18.10.2008, 16:16

klarsoweit

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Ja die Profs sind auch nicht mehr das, was sie früher mal waren. Big Laugh

Aber ich verstehe nicht, was man unter "Basislösung" versteht.

18.10.2008, 20:14

cmm

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Ich versteh auch nicht wie man auf die $\begin{eqnarray*} \lambda - 4 \end{eqnarray*}$ kommt.

bei mir steht dann in der ersten Zeile

x1 lambda - 3 lambda + 1 = -1

19.10.2008, 11:32

klarsoweit

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RE: Lgs
Es ist immer schwierig, etwas zu lösen, wenn man nicht weiß, wovon man ausgeht, vor allem, wenn du erst in deinem GLS die Variablen x, y und z verwendest und später x_1, x_2 und x_3. Also wir haben das GLS:
2x - 6y + 4z = -2
3x - 15y + 12z = 3
-6x + 30y - 24z = -6

Das 2-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile addieren führt zu:
2x - 6y + 4z = -2
3x - 15y + 12z = 3
0 = 0

Das -1,5-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addieren führt zu:
2x - 6y + 4z = -2
-6y + 6z = 6
0 = 0

Die 1. Zeile durch 2 und die 2. Zeile durch 6 dividieren:
x - 3y + 2z = -1
-y + z = 1
0 = 0

Jetzt für z den Parameter lambda nehmen. Aus der 2. Zeile folgt dann y = lambda - 1

z und y in die 1. Zeile einsetzen führt zu:
x - 3 * (lambda - 1) + 2 * lambda = -1 <==> x = lambda - 4

Alles zusammen gesetzt ergibt das:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist dann die allgemeine Lösung. Unter Basislösung versteht ihr anscheinend "spezielle Lösung". Das ist hier der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Allerdings halte ich den Begriff für unglücklich gewählt und meines Erachtens auch für unüblich, da der Begriff "Basis" in Zusammenhang mit Vektorräumen etwas anderes ausdrückt.

19.10.2008, 12:34

mYthos

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Zitat:

Original von cmm
Ich versteh auch nicht wie man auf die $\begin{eqnarray*} \lambda - 4 \end{eqnarray*}$ kommt.

bei mir steht dann in der ersten Zeile

x1 lambda - 3 lambda + 1 = -1

Da dürfte dir ein Fehler unterlaufen sein. Zur leichteren Rechnung dividieren (vereinfachen) wir zuerst die erste und die zweite Gleichung entsprechend (die dritte können wir weglassen, weil sie ja dasselbe aussagt wie die zweite, das haben wir ja schon besprochen -> führt zu einer Nullzeile):

$\begin{eqnarray*} x_1 - 3x_2 + 2x_3 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 - 5x_2 + 4x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------

Dann führt $\begin{eqnarray*} x_1 = \lambda \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 + \lambda \end{eqnarray*}$ und es kommt

$\begin{eqnarray*} x_1 - 3(\lambda - 1)+ 2 \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ und daher ist

$\begin{eqnarray*} x_1 = - 4 + \lambda \end{eqnarray*}$

__________________________________

Zu dem Begriff "Basislösungen": Es gibt offenbar tatsächlich eine von der Bedingung linearer Ab- oder Unabhängigkeit abweichende Definition. Dabei ermittelt man die Basislösungen durch Matrixoperationen, hier ausgehend von

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & -3 & 2 | -1\\ 1 & -5 & 4 | +1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun formen wir so lange um (dabei gibt es verschiedene Wege), bis innerhalb der ersten drei Spalten mindestens 2 unabhängige Einheitsvektoren (in R2, weil Rang = 2) stehen:

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 | +1\\ 1 & -1 & 0 | -3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die zugehörigen Variablen lesen wir die Werte in der letzten Spalte ab. Den Wert für die restlichen Variablen setzen wir jeweils auf Null. Hier ersehen wir aus den zu den Einheitsvektoren gehörenden Spalten die Lösungen $\begin{eqnarray*} x_3 = 1 \ , \ x_1 = -3 \end{eqnarray*}$ , also ist das Lösungstripel (mit $\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \vec{X}_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zunächst einmal eine (erste) Basislösung. Wieviel es insgesamt solche Basislösungen geben kann, folgt aus der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, auf welche Weise in der Matrix auf Einheitsvektoren umgeformt werden kann (die erste war -> in der ersten und dritten Spalte, mit x2 = 0, also sind noch die Variationen -> erste und zweite bzw. -> zweite und dritte Spalte denkbar. Kennzeichnend für "verschiedene Basislösungen" ist daher, dass immer eine Variable gleich Null ist! Daraus folgt nun nicht deren lineare Unabhängigkeit, aber sie entsprechen durchaus der im Unterricht von eurem Professor gegebenen Definition. In diesem Sinne "stimmt" natürlich auch dessen Resultat.

Ist dir das nun klar? Die entsprechenden Matrixumformungen (Pivotoperationen) werden dir sicher bekannt sein und auch gelingen ....

mY+

19.10.2008, 17:10

cmm

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Vielen Dank!

Endlich mal jemand, der das Lösen eines LGs so erklärt, so dass es selbst ich verstehe.

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