Matrix pos. definit - Rückrichtung? |
18.07.2006, 17:59 | Jens1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Matrix pos. definit - Rückrichtung? ich mache gerade folgende Aufgabe: Eine Matrix heißt positiv definit, wenn A hermitisch ist und für alle \{0} gilt: . Zeige: Genau dann ist positiv definit, wenn es eine reguläre Matrix gibt mit Die Hinrichtung ist leicht: Existiert so ein M dann ist: Kann man bei der Rückrichtung jetzt schon daraus ableiten oder ist das ein anderer Beweis? Fall ja, wie geht der? Tschö, Jens |
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18.07.2006, 19:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A diagonalisieren: mit Diagonalmatrix D. In der Diagonalen von D stehen die Eigenwerte von A. Diese sind alle reell, da A hermitesch (selbstadjungiert) ist. Desweiteren sind die positiv, da A positiv definit ist. Es sei E die Matrix, die aus D entsteht, wenn man von allen Diagonalelementen die Wurzel zieht. Es gilt E = E*. Und weiter , und M = ES ist die gesuchte Matrix. Natürlich ist M mit E und S ebenfalls regulär. |
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18.07.2006, 19:22 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wer sagt, dass A diagonalisierbar ist? |
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18.07.2006, 19:32 | Jens1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Rückrichtung ist A nach Voraussetzung hermitisch - also diagonalisierbar. Danke - da hätte ich wieder ewig überlegt Jens |
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19.07.2006, 10:46 | Jens1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe doch noch ne Frage zur selben Aufgabe, anderer Aufgabenteil (habe eben bemerkt, daß mein Beweis Unsinn war): Genau dann ist A positiv definit, wenn A nur positive Eigenwerte hat. Hier ist die eine Richtung auch einfach: Sei A positiv definit. Annahme: ist ein Eigenwert zum Eigenvektor v. Dann gilt: Widerspruch, weil SP positiv definit. Jetzt hänge ich schon wieder an der Rückrichtung. Ich werde noch verrückt |
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19.07.2006, 11:05 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn du annehmen darfst, dass A symmetrisch ist - es also eine Eigenbasis gibt, dann ist es nicht schwer... nimm dir einen beliebigen Vektor - stell ihn in deiner Eigenbasis dar und wende dann deine Vorraussetzung an... |
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19.07.2006, 16:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sonst stimmt die Aussage auch nicht. Gegenbeispiel: Wir dürfen also annehmen, dass A selbstadjungiert (bzw. symmetrisch, bzw. hermitesch ) ist. Dann kann man wieder so argumentieren wie oben. Dann ist nämlich mit einer Diagonalmatrix D, welche die positiven Eigenwerte von A in der Diagonalen hat. Für x ungleich Null folgt , da S regulär ist und D offenbar positiv definit. |
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