Matrix pos. definit - Rückrichtung?

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Jens1 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix pos. definit - Rückrichtung?
Hi,
ich mache gerade folgende Aufgabe:
Eine Matrix heißt positiv definit, wenn A hermitisch ist und für alle \{0} gilt: . Zeige:
Genau dann ist positiv definit, wenn es eine reguläre Matrix gibt mit

Die Hinrichtung ist leicht: Existiert so ein M dann ist:

Kann man bei der Rückrichtung jetzt schon daraus ableiten oder ist das ein anderer Beweis? Fall ja, wie geht der?

Tschö,
Jens
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

A diagonalisieren: mit Diagonalmatrix D. In der Diagonalen von D stehen die Eigenwerte von A. Diese sind alle reell, da A hermitesch (selbstadjungiert) ist. Desweiteren sind die positiv, da A positiv definit ist. Es sei E die Matrix, die aus D entsteht, wenn man von allen Diagonalelementen die Wurzel zieht. Es gilt E = E*. Und weiter

,

und M = ES ist die gesuchte Matrix. Natürlich ist M mit E und S ebenfalls regulär.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

wer sagt, dass A diagonalisierbar ist?
Jens1 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Rückrichtung ist A nach Voraussetzung hermitisch - also diagonalisierbar.

Danke - da hätte ich wieder ewig überlegt Augenzwinkern


Jens
Jens1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch noch ne Frage zur selben Aufgabe, anderer Aufgabenteil (habe eben bemerkt, daß mein Beweis Unsinn war):

Genau dann ist A positiv definit, wenn A nur positive Eigenwerte hat.

Hier ist die eine Richtung auch einfach:

Sei A positiv definit. Annahme: ist ein Eigenwert zum Eigenvektor v. Dann gilt:
Widerspruch, weil SP positiv definit.

Jetzt hänge ich schon wieder an der Rückrichtung. Ich werde noch verrückt unglücklich
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du annehmen darfst, dass A symmetrisch ist - es also eine Eigenbasis gibt, dann ist es nicht schwer...

nimm dir einen beliebigen Vektor - stell ihn in deiner Eigenbasis dar und wende dann deine Vorraussetzung an...
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
wenn du annehmen darfst, dass A symmetrisch ist - es also eine Eigenbasis gibt, dann ist es nicht schwer...

Sonst stimmt die Aussage auch nicht. Gegenbeispiel:


Wir dürfen also annehmen, dass A selbstadjungiert (bzw. symmetrisch, bzw. hermitesch Augenzwinkern ) ist. Dann kann man wieder so argumentieren wie oben. Dann ist nämlich

mit einer Diagonalmatrix D, welche die positiven Eigenwerte von A in der Diagonalen hat. Für x ungleich Null folgt
,
da S regulär ist und D offenbar positiv definit.
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