Frage zu Kongruenz, Ähnlichkeit |
| 18.07.2006, 19:54 | Gerda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage zu Kongruenz, Ähnlichkeit ich habe eine Frage zur Unterscheidung verschiedener Begriffe: a) Ähnlichkeit b) Kongruenz c) A*DA = M (komplexe Kongruenz?) Worin unterscheiden sich die Dinge jetzt genau? Ähnlichkeit ist mir - glaube ich - klar. Zwei ähnliche Matrizen beschreiben die selbe Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen. Kongruenz ist mir irgendwie auch klar. Zwei kongruente Matrizen beschreiben auch die selbe Abbildung, erhalten zusätzlich noch Längen und Winkel. Also ist Kongruenz eine Verschärfung der Ähnlichkeit? Und dann noch der Fall c). Wie nennt man so eine Abbildung, bei der A*DA = M ist? Das ist doch sowas wie komplexe Kongruenz. Und zum Schluß: Wann braucht man was? Z.B. braucht man ja des öfteren Ähnlichkeit/Kongruenz zu einer Diagonalmatrix. In welchen Vorraussetzungen unterscheiden sich die Transformationsmatrizen in a), b) und c)? Zur Untersuchung von z.B. Eigenwerten ist es ja eigentlich egal, ob die betrachtete Matrix nun ähnlich oder kongruent zu einer Diagonalmatrix ist, Hauptsache, die Eigenwerte stehen auf der Diagonalen, oder? |
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| 19.07.2006, 08:30 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist falsch, Kongruenz ist keine Ähnlichkeitstransformation. Beispiel Ursprungsmatrix und Ergebnismatrix haben nicht die gleichen Eigenwerte Folgende Eigenschaften hat die Ähnlichkeitstransformation Spur/Eigenwerte/Char. Polynom/Minimalpolynom/Geom vielfachheiten/algebraische vielfachheiten sind unter Ähnlichkeit invariant Kongruenz die Anzahl der negativen/positiven und 0 Eigenwerte ist invariant was ist deine letzte Transformation da? was ist A was ist D* ? |
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| 19.07.2006, 08:42 | Gerda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei c) war ich mir nicht sicher, wie das heißt, deshalb habe ich einfach ein Beispiel aufgeschrieben. Das Sternchen bedeutet bei uns adjungiert. Ich denke, mit komplexer Kongruenz liege ich nicht ganz daneben. Das ist dann wohl der analoge Fall zur Kongruenz im Komplexen. Also M ist komplex kongruent zu D. Die meisten Beweise drehen sich ja darum, daß eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Wozu nutzt man denn die Kongruenz. Gibts da vielleicht ein einfaches Beispiel (denn ich habe das noch nie benötigt). Danke! |
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| 19.07.2006, 09:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unter Kongruenz bleibt der sogenannte Trägheitsindex invariant (positive/negative/0-eigenwerte). Der Begriff stammt aus der Mechanik und dient zur Betrachtung von Trägheitsmomenten. So wurde uns das zumindest motiviert. (ich bin kein Physiker) Wann immer Du den Trägheitsindex invariant halten willst reicht schon eine Kongruenztransformation. Hast Du symmetrische/hermitsche Matrizen dann fallen Kongruenz und Ähnlichkeit zusammen. Wir haben komplexe Kongruenz im übrigen so definiert sei A nichtsingulär dann sind B unc C folgender maßen kongruent |
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| 19.07.2006, 11:02 | Gerda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Erklärung! Dennoch noch eine Frage: Z.B. im Satz von Jacobi habe wir aufgeschrieben, daß symmetrische Matrizen A diagonalisierbar sind mit T invertierbar: Nun sind symmetrische Matrizen ja auch per Ähnlichkeitstranformation diagonalisierbar. Warum macht man das dann mit Transponierten, wo Ähnlichkeit doch viel bessere Eigenschaften besitzt? Insbesondere haben die Matrizen unter Ähnlichkeit ja das selbe charakt. Polynom und damit sowieso die selben Eigenwerte. |
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| 19.07.2006, 11:09 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast Du wohl nicht aufgepasst was ich geschrieben habe. Für symmetrische und hermitesche Matrizen fallen Ähnlichkeit und Kongruenz zusammen. Das heißt für symmetrische(hermitesche) Matrizen ist Kongruenz und Ähnlichkeit das selbe im Bezug auf transformation auf Diagonalform. Klar, nach dem Spektralsatz besitzen symmetrische Matrizen eine orthonormalbasis B aus Eigenvektoren das heißt das damit hast Du Kongruenz und Ähnlichkeit in einem. |
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| 19.07.2006, 11:24 | Gerda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry und vielen Dank! Mir ist jetzt so einiges klarer! |
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