Regel von de L'Hopital

19.07.2006, 12:03	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Regel von de L'Hopital ich stecke gerade im Beweis an einer Stelle fest, und sehe vermutlich den Wald vor later Bäumen nicht: Seien also $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ zwei stetig differenzierbare Funktionen und $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein Häufungspunkt. Dann gilt: Falls $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \end{eqnarray}$ und falls $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x} \end{eqnarray}$ existiert, dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ Bew: Sei $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \end{eqnarray}$ folgt wegen der Stetigkeit $\begin{eqnarray} f(x_0) = g(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x_n) \to x_0 \end{eqnarray}$ . Nun wende ich den 2. Mittelwertsatz an, also existiert ein $\begin{eqnarray} \xi_n \in (x_0,x_n) \cup (x_n, x_0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} = \frac{f(x_n) - f(x_0)}{g(x_n) - g(x_0)} = \frac{f(x_n)}{g(x_n)} \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \|\xi_n - x_0 \| < \|x_n - x_0\| \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \xi_n \neq x_0 \, \mbox{denn} \, lim {\xi_n} = x_0 \end{eqnarray}$ Bis hierher ist alles klar. Jetzt kommt der Schritt den ich nicht nachvollziehen kann: Also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ Wäre nett, wenn mir jemand erklären kann wieso das so ist
19.07.2006, 12:28	Ilana	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang auf der linken seite an, und vertausche limes und f bzw limes und g. dann rechne durch...und du kommst leicht ans gewünschte ziel. und benutze noch f(x0) = lim f(x) mit x gegen x0
19.07.2006, 12:32	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Regel von de L'Hopital Klar! also Also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{f'(\xi_n)}{g'(\xi_n)} = \frac{f'(\lim_{n \to \infty}\xi_n)}{g'(\lim_{n \to \infty}\xi_n)} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ Komisch, das man manchmal auf sowas einfach nicht von alleine kommen mag Vielen Dank für die Hilfe

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