Konfidenzintervall für den Median

19.07.2006, 19:53

Flapjack

Konfidenzintervall für den Median

Hallo.

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht weiter.
Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ seien unabhängig und identisch wie X verteilt mit stetiger Verteilungsfunktion.

a) Die Zufallsvariable Z beschreibe die Anzahl der Realisierungen $\begin{eqnarray*} x_{1},...,x_{n} \end{eqnarray*}$ der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray*}$ , die kleiner oder gleich dem Median sind. Wie ist Z verteilt?

b) Berechnen Sie für n = 10 die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X_{(4)}<=Median(X)) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X_{(4)} \end{eqnarray*}$ das vierte Element der geordneten Zufallsvariablen sein soll.

Ok, soweit denke ich, kann ich die Aufgabe lösen. Z ist binomialverteilt mit n=n und p = 1/2. In b) würde ich dann n = 4 setzen und $\begin{eqnarray*} P(Z>=4) \end{eqnarray*}$ berechnen. Aber jetzt werde ich überfordert:

c) Konstruieren Sie mit Hilfe von Z ein Konfidenzintervall für den Median der Verteilung von X. Betrachten Sie hierzu die geordnete Messreihe $\begin{eqnarray*} x_{(1)},...,x_{(n)} \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie k und l so, dass $\begin{eqnarray*} [X_{(k)};X_{(l)}] \end{eqnarray*}$ ein Konfidenzintervall für den Median zum Konfidenzniveau $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ .

Konfidenzintervalle kenne ich nur für Erwartungswerte und Varianzen von normalverteilten Zufallsvariablen oder für p von binomialverteilten ZV. Aber das p kenn ich ja schon. Ich finde irgendwie keine Verbindung zwischen X und Z. Kann jemand helfen?

Gruß Flapjack

19.07.2006, 20:14

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Zitat:

Original von Flapjack
Z ist binomialverteilt mit n=n und p = 1/2. In b) würde ich dann n = 4 setzen und $\begin{eqnarray*} P(Z>=4) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Vollkommen richtig. Und mit der Idee kannst du auch c) lösen: Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} P( X_{(k)} \leq \mathrm{Median}(X) \leq X_{(l)} ) = P(k \leq Z \leq l ) \end{eqnarray*}$

Und jetzt bestimmst du $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ (symmetrisch zum Erwartungswert) so, dass diese Wahrscheinlichkeit mindestens so groß ist wie das Konfidenzniveau $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ .

Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist es dabei anratsam, die Normalverteilungsapproximation der Binomialverteilung einzusetzen.

19.07.2006, 20:19

Marvin42

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Steh ich jetzt ganz auf dem Schlauf? Bei 10 Werten besitzt das
Intervall [latex] [x_{(5)}-x_{(6)}] [\latex] die Medianeigenschaft. Demnach ist x(4) doch immer kleiner oder gleich dem Median.

19.07.2006, 23:55

Flapjack

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} P( X_{(k)} \leq \mathrm{Median}(X) \leq X_{(l)} ) = P(k \leq Z \leq l ) \end{eqnarray*}$

Ja! Das ist schonmal prima! Danke!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Und jetzt bestimmst du $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ (symmetrisch zum Erwartungswert) so, dass diese Wahrscheinlichkeit mindestens so groß ist wie das Konfidenzniveau $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ .

Ich versuchs mal. Aber ich bin mir noch nicht so recht sicher...
$\begin{eqnarray*} P(k\leq Z\leq l)\\=P(\frac{Z-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2}\leq \frac{l-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2})- P(\frac{Z-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2}\leq \frac{k-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2})\\= \phi(\frac{l-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2})- \phi(\frac{-l+\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2})\\=2\cdot \phi(\frac{l-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}\cdot1/2})\\=> l \leq u_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{n}/2 + n/2 \\ k \geq u_{\alpha/2}\cdot \sqrt{n}/2 - n/2 \end{eqnarray*}$
Hmm... weiß nicht so ganz. Ob das wohl stimmt? Und wie kann k und l ohne GWS bestimmen? Erwartungswert abziehen geht wohl nicht, weil Binomialverteilt und daher Z >= 0... Ich bin grad etwas verwirrt.

Zitat:

Marvin42
Steh ich jetzt ganz auf dem Schlauf? Bei 10 Werten besitzt das
Intervall $\begin{eqnarray*} [x_{(5)},x_{(6)}] \end{eqnarray*}$ die Medianeigenschaft. Demnach ist x(4) doch immer kleiner oder gleich dem Median.

Ich glaube, das was du meinst, ist der Median einer konkreten Messreihe (oder irgend einer Realisierung der ZV). Bei n=10 wäre das $\begin{eqnarray*} x_{(5)} \end{eqnarray*}$ .
Aber der Median der Verteilungsfunktion ist definiert als das Infimum aller Werte x für die gilt $\begin{eqnarray*} F(x) \geq 1/2 \end{eqnarray*}$ . Es ist also durchaus möglich, dass sogar der kleinste Wert einer Messreihe größer ist, als der Median der Verteilungsfunktion.

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