Mengensysteme (Maßtheorie)

15.10.2008, 14:58

Fletcher

Mengensysteme (Maßtheorie)

Guten Tag,

es geht um folgendes $\begin{eqnarray*} (A_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ sei eine Folge von Mengen mit einer Obermenge $\begin{eqnarray*} \cup_n A_n \end{eqnarray*}$ . Gegeben sei weiter der untere und obere Mengenlimes der Folge, wobei gilt:
$\begin{eqnarray*} A_*=\liminf_{n \to \infty} A_n = \cup_n \cap_{m\geq n} A_m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^*=\limsup_{n \to \infty} A_n = \cap_n \cup_{m\geq n} A_m \end{eqnarray*}$

Nun soll man das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1) \end{eqnarray*}$ nacheinander in gleich lange Intervalle zerlegen mit $\begin{eqnarray*} [\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=1,2,...; ~ k=1,2,...,m \end{eqnarray*}$ . Man soll nun den oberen und unteren Mengenlimes bestimmen.

Also meiner Meinung nach ist der untere Mengenlimes die leere Menge und der obere Mengenlimes das ganze Intervall. Habe allerdings noch meine Zweifel.

Als zweites soll man zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} A_* \subset A^* \end{eqnarray*}$

Hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen.

15.10.2008, 16:35

papahuhn

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RE: Mengensysteme (Maßtheorie)

Zitat:

Original von Fletcher
Man soll nun den oberen und unteren Mengenlimes bestimmen.

Von welcher Folge? $\begin{eqnarray*} {(A_m)}_{m \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ ? Mit welchen k?
Weisst du umgangssprachlich, was der lim inf und der lim sup von Mengen sind?

17.10.2008, 08:33

Fletcher

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Ehrlich gesagt weiß ich das leider nicht. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen. Das Thema ist mir völlig neu.

17.10.2008, 12:23

papahuhn

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Mir ist die Aufgabenstellung immer noch unklar. Für den Limes inferior/superior brauchst du eine Folge von Mengen. Die hast du in der Aufgabe durch m gegeben, aber das k ist immer noch ein freier Parameter. Was sollst du damit machen? Schreib mal bitte die genaue Aufgabenstellung auf, WOVON du die Limites bestimmen musst.

Und zum Verständnis, was der Liminf und Limsup sind: Schreib mal anhand der Definition von $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} x \in A_* \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \in A^* \end{eqnarray*}$ bedeutet.

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