Heiratsproblem

15.10.2008, 16:56	Gump	Auf diesen Beitrag antworten »
Heiratsproblem Hallo Leute! Folgende Aufgabe ist gegeben: Seien X, Y endliche Menge. Für jedes Element $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ sei weiter eine Teilmenge $\begin{eqnarray} Y_x \end{eqnarray}$ gegeben, sodass folgende Bedingung erfüllt ist: Für jede Teilmenge $\begin{eqnarray} X' \subseteq X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|X'\| \leq \|\bigcup_{x \in X'} Y_x\| \end{eqnarray}$ Dann gibt es eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} f(x) \in Y_x \forall x \in X. \end{eqnarray}$ Ich habe schon herausgefunden, dass die Bedingung notwendig ist, damit f injektiv sein kann. Gilt sie nämlich nicht, dann stehe ich vor dem Problem, dass ich n Elementen aus X, m Elemente zuordnen muss (m<n). Dann muss f also mehrmals auf dasselbe Bild abbilden und f ist somit nicht injektiv. Allerdings weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, dass die Bedingung auch hinreichend ist. Ich hatte mir überlegt konkret eine Abbildung anzugeben. Damit scheine ich aber nicht auf einen grünen Zweig zu kommen. Für einen kleinen Hinweis wäre ich sehr dankbar Gruß Gump

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