Licht beim Verhörrichter |
| 20.07.2006, 00:11 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Licht beim Verhörrichter In einem Kerker sitzen Gefangene, und die werden einer nach dem anderen dem Verhörrichter vorgeführt. Auf dem Tisch des Häftlings im Verhörzimmer befindet sich ein Licht. Der Häftling kann es beliebig ein- und ausschalten, wenn er z. B. etwas lesen oder unterschreiben muss. Der Verhörrichter kann an dieser Lampe nichts ändern, denn die beiden sind durch eine Glaswand getrennt. Die Lampe beim Gefangenen kann also nach dessen Belieben ein- oder ausgeschaltet bleiben, bis der nächste da ist. Vom Verhörrichter weiss man, dass er ein strenger Mann ist, der über Leichen geht, aber wenn er etwas sagt oder verspricht, hält er es in unerbittlicher Härte ein. Am 1. Januar des Jahres 2100 ruft der Verhörrichter alle Gefangenen mit den Nummern 1-100 zusammen. Er verkündet ihnen Folgendes: "Leute, ihr bleibt fortan jeder in seiner Zelle, ohne jegliche Verbindung zur Aussenwelt, zum Verhörzimmer oder andern Zellen. Ich werde jeden Tag einen von euch zum Verhör holen, da ich aber meinen Auftrag gründlich ausführen und auch noch eine Zeitlang behalten will, hole ich nicht einen nach dem anderen, sondern jeden Tag irgendeinen nach dem Zufallsprinzip. Wenn ich alle 100 geholt habe, könnt ihr theoretisch gehen. Aber ich werde es euch nicht sagen, einer von euch muss sich schon selber melden. Wenn aber einer von euch sich meldet, bevor alle bei mir gewesen sind, werdet ihr allesamt erschossen, das versichere ich euch. Heute ist der nullte Tag, da mache ich frei, nachher werde ich täglich einen verhören. Ihr habt Gelegenheit, euch heute noch so lange zu besprechen wie ihr wollt, sogar in meiner Abwesenheit. Ich bin Verhörrichter und kriege ohnehin alles raus." Wie stellen es die Gefangenen an, sich so zu verhalten, dass sie möglichst wenige Tage dableiben müssen, bis einer dem Verhörrichter gefahrlos sagen kann, dass sie jetzt gehen wollen und können? |
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| 20.07.2006, 02:47 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie verstehe ich das Problem noch nicht ganz. 
Wenn ich das richtig verstanden habe, wird an jedem Tag genau ein Häftling verhört. Und wenn jemand den Freilassungsgesuch erbittet bevor der letzte verhört worden ist, werden alle erschossen. Nun dann werden die Gefangenen wohl die 100 Tage abwarten müssen. Also was habe ich noch nicht richtig verstanden? Edit: Oder ist es gar möglich, dass der Verhörrichter einige Gefangene mehrfach verhört, wenn es der Zufall so will? |
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| 20.07.2006, 04:14 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn ich mich nicht irre, gab so eine "aufgabe" schon mal! suche in der Rätselecke mal nach! |
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| 20.07.2006, 07:59 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nur für den Fall, dass du es da nicht finden solltest (kann mich zwar auch an ein ähnliches Rätsel errinnern, aber meine Suche blieb erfolglos): damdem: An welcher Stelle liegt denn nun dein Problem? Vorrechnen wird dir das sicher keiner hier. |
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| 20.07.2006, 09:40 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Zufallsprinzip Der Verhörrichter verhört täglich irgend einen, den er schon verhört hat oder noch nie, also in den ersten hundert Tagen wahrscheinlich einige zweimal, einige dreimal, einige nur einmal, einige überhaupt noch nicht. Die hundert Tage werden sich also in die Länge ziehen, und die Frage ist, ob der Letzte, der das Verhörzimmer erstmals betritt, sich klar werden kann, dass er der Letzte ist. Mein Problem ist, ob das ein Problem der Kombinatorik sein kann und wie allenfalls. Einige Lösungen stehen im Raum, befriedigen mich aber noch nicht. Es könnte bspw. ein Problem Wahrscheinlichkeit dahinter stecken: Nach etwa drei Jahren ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer noch nie hier war, 0,04. Man könnte dann also aufs Geratewohl entscheiden, zu gehen. Aber es gibt eben immer noch die Gefahr. Man könnte auch mit ewigem Abzählen und Warten vorgehen: Ein Gefangener ist zuständig für "Licht abschalten", alle andern für "Licht einmal anschalten sobald möglich"; wenn er 99 Mal das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, kann er die Freiheit für alle fordern; bis er aber 99 Mal geholt worden ist, dauert es gemäss Wahrscheinlichkeitsrechnung etwa 27-30 Jahre. Leichtes Verkürzen dieser Zeit, bspw. dadurch, dass jener Gefangene der zweite ist, welcher vorgeführt wird, und somit wahrscheinlich einige Tage spart, oder ähnliche Tricks, befriedigen mich auch noch nicht ganz. Gibt es nicht irgend ein System, mit dessen Hilfe die Gefangenen sich die Aufgaben zuteilen können, (a) noch nichts zu verlangen, bevor es Zeit ist, bzw. die Freiheit zu verlangen, wenn es Zeit ist, (b) das Licht abgeschaltet zu hinterlassen, (c) das Licht eingeschaltet zu hinterlassen, (d) das Licht so zu hinterlassen, wie sie es vorfinden, (e) das Licht umzuschalten? Ich denke insbesondere an die Kalenderdaten (bspw. kann ja in den ersten 99 Tagen noch nicht der Letzte dagewesen sein) oder an die Nummern der Gefangenen im Zusammenhang mit diesen Kalenderdaten (angenommen, am ersten Tag kommt einer mit einer geraden Nummer, könnte er sich anders verhalten als ein anderer); auch könnte es sein, dass diejenigen, die schon (zweimal? dreimal?...?) da waren, sich nach Ablauf der ersten hundert Tage "ruhig" zu verhalten haben, dass einige nicht mitzählen dürfen oder "irgend so etwas"..... Ich versuche, das Problem mit Kombinatorik zu lösen, und deswegen steht es (noch) nicht im Rätselbrett. Aber wenn ihr es hier nicht wollt, landet es dann vielleicht einmal dort. Solange ich aber nicht wenigstens verstehe, wie die Gefangenen die Freiheit in sagen wir 10-12 Jahren richtig einlösen, so kann ich nicht aufhören zu knobeln. Vielleicht ist mir mathematischer Eintagsfliege ja jemand günstig gestimmt... Danke für die bisherigen Zuschriften und schönen Tag. Gruss Mike |
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| 24.07.2006, 13:27 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auf Wunsch des Threadstellers *verschoben*. damdem: Ich hoffe allerding du weißt die Antwort, denn sonst ist es in der Rätselecke nicht sonderlich gut aufgehoben. Also wenn du sie nicht kennst lass es mich wissen, dann schiebe ich den Thread wieder zurück in die Stochastik. |
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| 24.07.2006, 15:36 | Equariot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das ist die richtige lösung! die gefangenen ernennen einen als "ausschalter", alle anderen sind "anschalter" bei ihrem ersten verhöhr, danach "lichtzustand-nicht-änderer". immer wenn der "ausschalter in den raum kommt und das licht ist an, macht er es aus und merkt sich wie oft er schon ausgeschaltet hat. wenn ein anderer das erste mal in den raum kommt, und das licht ist aus, machen sie es an. wenns an ist, lassen sie es so. und immer wenn sie zum wiederholten male in den raum kommen und es schon angeschaltet haben tun sie auch nichts. wenn der "ausschalter" dann 99 mal das licht ausgemacht hat, waren alle gefangenen mindestens einmal in dem raum. dann kann er sagen, dass sie gehen können und wollen. natürlich kann das ewig dauern, aber so hattens wir in der schule 
Equa
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| 24.07.2006, 16:11 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Danke equa Vielleicht könnte man das irgendwie optimieren, aber immerhin geht es. Gruss Mike |
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| 24.07.2006, 16:12 | Equariot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
was meinst du mit optimieren? |
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| 24.07.2006, 16:22 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da damdem keine Lösung hat ... *wieder zurück* |
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| 24.07.2006, 16:49 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Zähler und Oberzähler Damit meine ich, dass zehn Zähler (oder Zählerinnen) bestimmt werden, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. Nach jeweils 10 Tagen wird das Licht jedes Mal gelöscht. Sobald jeder von den zehn Zählern in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war. Ab dem tausendsten Tag bis zum zweitausendsten Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis zehn gezählt haben, das Licht einschalten, welches jeden 100. Tag gelöscht wird. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. So wird es immerhin wahrscheinlich, dass die Sache klappt. Man kann dann immerhin noch sagen: Falls es nicht klappt, wird ab dem 2000. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt. Dies ist meine bisher treffsicherste Lösung. Ich finde sie schon beachtlich, 
, aber ich vermute, sie ist nochmals optimierbar (müssen es wirklich 10/1000...Tage und Zählende sein, gibt es nicht passendere Zahlen? Oder gibt es nicht noch andere Lösungen mit spontaner Bereitschaft eines ausgewählten Gefangenen, den Zähler oder die Zählerin zu spielen?)Gruss Mike |
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| 24.07.2006, 18:03 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich fürchte nur das genügt noch nicht. Schon der triviale Fall Nr. 1-99 "Einschalter" und Nr. 100 "Ausschalter" und 1-100 werden der Reihe nach reingerufen funktionniert so nicht, da der Ausschalter so nur bis 1 zählen wird und niemals weiter. . |
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| 24.07.2006, 18:08 | Equariot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
eben nicht. er wird ja wieter zählen können, da der verhörrichter ja nicht aufhört, sie in den raum zu holen. irgendwann haben alle 99 dann das licht angemacht und der eine hats 99 mal ausgemacht und er weiß dass alle mindestens einmal im raum waren. Equa |
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| 24.07.2006, 19:58 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sie dürfen ja nach deinen Regeln beim zweiten und allen nachfolgenden Verhören das Licht nicht wieder anschalten. Oder hab ich da was überlesen ? Du musst eine Regel einführen, dass jeder "Einschalter" genau einmal das Licht anmacht, wenn es aus ist - unabhängig davon das wievielte Verhör es ist. Nur sollte man dann mal überprüfen ob die zu erwartende Dauer des Verfahrens nicht die Lebenserwartung übersteigt :-) . |
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| 24.07.2006, 20:10 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ja das ist so gemeint Hallo Jovi was meine Sicht betrifft, so gilt etwas, das bei allen bisherigen Lösungen so gemeint gewesen ist, und es hätte klarer ausgedrückt werden sollen 
:Wer das erste Mal da ist, darf anbrennen, f a l l s das Licht nicht schon brennt; wer solches nicht konnte, weil das Licht schon brannte, soll sein Anzünden später nachholen. Das war bei den Lösungen mit "Zählern", welche das Licht ausmachen dürfen, so bedacht. Im übrigen sagt mir ein inneres Stimmchen, dass es noch bessere oder wenigstens ebenso gute Lösungen geben sollte. Danke aber für die bisherigen Zuschriften. Gruss Mike |
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| 24.07.2006, 20:20 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| etwas genauer Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. Nach 100 Tagen wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist. Ab dem tausendsten Tag bis zum zweitausendsten Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. So wird es immerhin wahrscheinlich, dass die Sache klappt. Man kann dann immerhin noch sagen: Falls es nicht klappt, wird ab dem 2000. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt. Dies ist meine bisher treffsicherste Lösung. Sie hat noch eine gewisse Anfälligkeit auf Störungen: Was soll man bspw. tun, wenn jemand zweimal als Zähler erkoren wird? Im übrigen vermute ich, dass sie nochmals optimierbar ist (müssen es wirklich 10 Zählende und 1000 bzw. 2000 Tage sein, gibt es nicht passendere Zahlen? Oder gibt es nicht noch andere Lösungen? Ich bin nicht systematisch vorgegangen, sondern mit "Ausprobieren", wie geht man systematisch vor?) Gruss Mike |
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| 24.07.2006, 21:07 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Zähler und Oberzähler Genauere Lösungen?
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| 25.07.2006, 14:47 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| etwas sicherer Noch etwas sicherer erscheint mir: In den ersten 20 Tagen werden die zehn Zähler bestimmt. Alle zwei Tage muss das Licht gelöscht verlassen werden, und der, der also an einem geraden Tag löscht (oder an einem geraden Tag gelöscht lässt), ist Zähler. Ab Tag 20 bis Tag 1500 wird gezählt; nur wer noch nie das Licht angemacht hat, macht es an, der nächste Zähler löscht es, allerdings hört er zu zählen und zu löschen auf, sobald er bis 9 (plus sich selbst) gezählt hat. Ab Tag 1500, an welchem das Licht in jedem Fall zu löschen ist, sind nun nur noch die Zähler berechtigt, das Licht einzuschalten. Alle 100 Tage wird es in jedem Fall gelöscht. Ein Zähler, der das Licht gelöscht vorfindet und selber früher schon bis neun gezählt hat, der kann nun das Licht einschalten, und es bleibt bis zum jeweils 100. Tag ein. Sobald jemand in jeweils 100 Tagen 10x das Licht brennend vorgefunden hat, verlangt er die Freiheit. So ist man wahrscheinlich in wenigstens 8 Jahren draussen. Ab Tag 3000, an welchem das Licht wieder zu löschen ist, falls man noch da ist, beginnt nun alles wieder von vorne. Gruss Mike |
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| 25.07.2006, 15:16 | Equariot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: etwas sicherer
Equa |
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| 25.07.2006, 16:07 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: etwas sicherer Hallo freut mich, dass wieder jemand mitmacht!! "In den ersten 20 Tagen werden die zehn Zähler bestimmt." Warum bestimmen die nicht einfach 10 leute wenn sie sich am anfang besprechen können? Weil es rascher geht, wenn Leute zählen, die schon früh hier waren. "Ab Tag 20 bis Tag 1500 wird gezählt; nur wer noch nie das Licht angemacht hat, macht es an, der nächste Zähler löscht es, allerdings hört er zu zählen und zu löschen auf, sobald er bis 9 (plus sich selbst) gezählt hat." und wenn er nicht so weit zählt? Dann ist die Übung im Eimer, und wir müssen am Tag 3000 wieder anfangen - oder gibt es einen Ausweg? "Ab Tag 1500, an welchem das Licht in jedem Fall zu löschen ist, sind nun nur noch die Zähler berechtigt, das Licht einzuschalten. Alle 100 Tage wird es in jedem Fall gelöscht. Ein Zähler, der das Licht gelöscht vorfindet und selber früher schon bis neun gezählt hat, der kann nun das Licht einschalten, und es bleibt bis zum jeweils 100. Tag ein. Sobald jemand in jeweils 100 Tagen 10x das Licht brennend vorgefunden hat, verlangt er die Freiheit." wenn das licht nur an jedem 100. tag gelöscht wird, ist doch unumgänglich, dass jemand das licht 10x brennend vorfindet, wenn er auch nach dem anschalten in der verbleibenden zeit bis zum ende der 100 tage 10x in den raum kommt Darum habe ich geschrieben "in j e w e i l s 100 Tagen 10x das Licht brennend vorgefunden..." und nicht überhaupt 10x das Licht brennend vorgefunden. Also darf man in dieser Zeitspanne nur eins mehr zählen, wenn seit dem letzten Zählen ein 100. Tag (Vielfach von hundert ab dem 1500. Tag, also der 1600., 1700. usf.) vergangen ist. Aber ich gebe schon zu, dass ich langsam an die Grenzen der verständlichen sprachlichen Formulierung komme. Gruss Mike |
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| 25.07.2006, 16:15 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beschäftigst du dich eigentlich auch damit zu zeigen, dass diese Lösungen "besser" sind als die sichere, die schon bekannt ist? (Erwartungswert z.B.) Gruß vom Ben |
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| 25.07.2006, 16:20 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ja natürlich Natürlich sind sie besser, weil sie schneller gehen. Meine Vorgabe ist: Man soll so planen, dass man möglichst schnell draussen ist. Oder übersehe ich etwas? Gruss Mike edit: Was genau ist ein Erwartungswert? Ich sage z. B.: "acht Jahre", wenn die Gefangenen im Mittel so oft hereingeführt werden, dass mit meinem Zählsystem acht Jahre herauskommen und dabei die Wahrscheinlichkeit, dass das Ganze falliert, mir relativ klein erscheint. Schön wäre aber, wenn diese Wahrscheinlichkeit möglichst 0 wäre und trotzdem nicht allzu viele Tage verbraucht würden, um zu zählen. |
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| 25.07.2006, 16:23 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ja natürlich
Woher weißt du das? Theoretisch können sie ja ewig lang drin bleiben, wenn der Verhörrichter z.B. jeden Tag denselben Kerl rausholt (vielleicht hat er sich in den verliebt oder so...). "Schneller" kann hier also nur heißen, du machst eine Verteilungsannahme, etwa eine Gleichverteilung (alle Gefangenen werden im Mittel gleich oft herausgeholt) und berechnest den Erwartungswert der verschiedenen Methoden. Kleinerer Erwartungswert entspräche dann einem schnelleren Verfahren. Woher weißt du sonst, was "schneller" ist? |
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| 25.07.2006, 16:27 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ja natürlich Ja, Du hast richtig geschrieben. Ich mache hiermit diese Vorgabe: Der Verhörrichter holt die Leute nach dem Zufallsprinzip, und zwar so, dass im Mittel jeder gleich oft drankommt. Meine Frage lautet nun: Wie kommt bei mir ein Erwartungswert heraus, der möglichst gering ist, obwohl Sicherheit besteht, dass alle schon geholt worden sind? edit: Mit der Integralrechnung verstehe ich mich nicht so ganz, aber ich bin gerade am Lernen darüber. Man könnte versuchen, den Erwartungswert als Integralrechnung auszudrücken, aber das muss ich erst mal im stillen Kämmerlein. Vielleicht bist Du geübter? Gruss Mike |
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| 25.07.2006, 16:31 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ja natürlich Du hast ja schon diverse Vorschläge da. Kannst ja für die erstmal den EW berechnen
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| 26.07.2006, 11:01 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ja natürlich
Das Problem an deiner Lösung ist doch , dass diese (absolute) Sicherheit eben nicht besteht, wenn nach 1500 Tagen Ein Zähler noch nicht bis 10 gezählt hat. Oder habe ich da was falsch verstanden ? . |
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| 26.07.2006, 12:57 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Suche nach Fragestellungen Du hast schon richtig verstanden, aber die Sicherheit besteht nicht einfach überhaupt nicht, sondern in den ersten Tagen n o c h nicht, d.h. man kann ja auf Wunsch am Tag 3000 eine andere Lösung anhängen, die sicherer ist, bspw. die erstgenannte, oder die jetzige so lange wiederholen, bis sie doch noch klappt. Schön wäre allerdings, eine zu finden, welche ebenso sicher wie die erste ist und doch deutlich kürzer geht (mit einem System von Kalendertagen, Gefangenennummern und Abmachungen sollte es "irgendwie" gehen). Vorerst befasse ich mich aber mit der Optimierung meiner Wahrscheinlichkeits-Lösung bzw. dem Vorschlag von Ben Sisko. Gruss Mike |
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| 26.07.2006, 12:59 | Equariot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: etwas sicherer
nee, denk ich auch.
und wenns dann wieder nicht klappt ?
dann ist die lösung mit einem Zähler wesentlich sicherer
ja, mir gehts genauso... |
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| 28.07.2006, 20:23 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Erste Ergebnisse und Selbsterkenntnis... Liebe Mitdenkende ich lasse hier mal erste Zahlen zur Sache eintröpfeln. Ein einmal bestimmter Zähler kommt wie jeder andere durchschnittlich alle 100 Tage selber wieder her. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei zehn Zählern an irgend einem Tag ein Zähler das Zimmer betritt, ist PZähler=0,1. ("P" heisst Probabilität.) Die wahrscheinlichste Prognose, dass alle gemäss Lebenserfahrung geholt sein werden, lautet auf 518 Tage, das sind gut anderthalb Jahre. Es können 400-600 Tage sein, im Extremfall 300-1200, aber die Varianz ist gering, es wird also höchstwahrscheinlich um gut 500 Tage herum dauern. Bis irgendjemand zweimal geholt ist, dauert es wahrscheinlich 13 Tage, es werden wohl meistens 10-16 Tage sein. Bis aber jemand geholt ist, der schon einmal da war und das Licht nicht einschalten konnte, weil es schon ein war, dauert es erwartungsgemäss wiederum rund 100 Tage, und es kann auch einmal bis zu gut 500 gehen. Der Erwartungswert bei der ersten Lösung mit einem Zähler und 99 Durchgängen beträgt 25-30 Jahre Gefangenschaft. Und hier folgt die (edit: vorläufig) traurige Selbstbilanz meiner anderen Lösungen: Bei der Lösung mit 10 Zählern in 100 Tagen, die nachher bis zum 1000. Tag zählen und ab dem 1000. Tag sich melden, gibt es Schwierigkeiten ab dem Tag 900. Man kann annehmen, an diesem Tag seien 85 der 90 zu zählenden Gefangenen gezählt, und fünf Zähler hätten noch fünf Gefangene zu zählen. Dann muss jetzt also einer von fünf Gefangenen hereinkommen; bis das geschieht, dauert es aber erwartungsgemäss 20 Tage, und bis einer der fünf Zähler ihm nachfolgt, dauert es wiederum etwa 20 Tage. Nachher bleiben noch vier übrig, da dauert es bis zum nächsten Paar Gefangener-Zähler wohl je 25 Tage, dann drei, die brauchen wohl je 33 Tage, und bis das erste von diesen drei Paaren dagewesen ist, sind die ersten 1000 Tage vorbei. Man kann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es trotzdem geht, aber die liegt dann im Promillebereich, Pzehnmalzehn= etwa 0.001. Somit ist diese Lösung tausendmal anzuwenden, bis sie hinhaut, und die Ein-Zähler-Lösung mit 25-30 Jahren ist wesentlich schneller. Bei der Lösung mit 10 Zählern in 20 Tagen bleibt immerhin etwas mehr Zeit bis zum Tag 1500. Es wird davon ausgegangen, dass die zehn Zähler 9 Leute in den ersten 20 Tagen gezählt haben. Es kommt dann etwa alle 10 Tage ein Zähler herein, und der findet das Zimmer wahrscheinlich hell vor, solange bis 80 Leute das Licht angemacht haben. Es ist dann etwa der Tag 730. Angenommen, am Tag 730 seien also 80 der 90 Gefangenen gezählt. Es werden jetzt mehr Tage für jeden Zähler; bei 9 Zählern sind es gut elf, bei acht zwölf, bei sieben 14 und bei sechs rund 18 Tage, die zu erwarten sind, bis wieder einer da ist, und diese Zahl wird sich zusätzlich noch verdoppeln, weil die Gefangenen ja auch noch hereinkommen müssen, um sich zählen zu lassen. Für die nächsten fünf Gefangenen verstreichen demnach 100 Tage. Jetzt muss ein Gefangener folgen - 20 Tage, ein Zähler - wieder 20 Tage, nächster Gefangener - 25 Tage, Zähler ebenfalls, drittletzter Gefangener - 2x34 Tage, zweitletzter, 2x50 Tage. Der letzte der 90 und sein Zähler brauchen 2x100 Tage. Das ist bei Tag 1258 der Fall, und somit ist diese Lösung mit ihren ersten 1500 Tagen gut, aber etwas grosszügig. Nun folgen aber die anderen 1500 Tage. Hier müsste nach jedem der früheren Zähler, die jetzt Einschalter sind, ein und dieselbe Person hereinkommen. Nach dem ersten Zähler (jetzt Einschalter) kommen vielleicht noch 90 Gefangene in Betracht, die das Licht vor dem Ausschalten antreffen, weil anzunehmen ist, dass in den ersten zehn Tagen ein Einschalter da ist. Nach dem zweiten Zähler können es 80% von diesen 90 sein, das sind dann noch 72, nach dem dritten können es 70% von diesen 72 sein usw., das sind dann am Ende noch 0.03 Gefangene oder 3% Wahrscheinlichkeit, P1500=0.03, dass einer die Sache sieht. Man müsste also auch diese Lösung dutzende Male wiederholen, womit wiederum die erste Lösung die schnellere ist. Aber damdem gibt nicht auf, ich werde - wie könnte es anders gehen - bei der Planung der letzten Tage ab dem Tag 1500 etwas ändern. Gruss, bis gleich damdem |
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| 28.07.2006, 20:57 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(bitte umblättern..) |
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| 28.07.2006, 21:36 | damdem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: die gleiche Lösung, etwas ausgeklügelt Nun also zur Verbesserung dieser Lösung. Der Fehler lag darin, dass für die letzte Zeit bestimmt wurde, es sei alle 100 Tage das Licht zu löschen. Es muss hier etwas genauer unterschieden werden, ob noch viele oder nur noch wenige Licht-Einschalter zu beobachten sind. Somit lautet die verbesserte Lösung: Es werden zunächst 10 Zähler (Ausschalter) in 21 Tagen bestimmt, der erste ist der, der am Tag 3 das Zimmer betritt; dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters. Der nächste Zähler ist der, der am Tag 5 das Zimmer betritt, der übernächste am Tag 7 usw.; die Nichtzähler schalten das Licht einmal ein, sobald sie in das dunkle Zimmer treten, sonst haben sie vorläufig nichts zu tun. Ein Zähler, der bis 10 gezählt und dabei jedesmal das Licht gelöscht hat, kann aufhören, ausser wenn er zweimal Zähler geworden ist, dann soll er bis 19 zählen. Ab Tag 1257, wenn wahrscheinlich alle ausser die Zähler gezählt sind, wird das Licht gelöscht, und nun sollen die Zähler zu Einschaltern werden. Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, braucht es noch einige Tage für Beobachtende, wobei ich willkürlich 20 wähle. Das gibt 30 Tage, bis das Licht zu löschen ist. Bei den Einschaltern Nr. 2-7 werden je 100 Tage zu ihren 20-70 Tagen hinzugegeben, um die meisten der gefundenen Beobachtenden als mögliche Befreiende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lassen wir's bei 50 Tagen bewenden, sodass wohl nur noch etwa 9 Leute nach dem achten und 4 Leute nach dem neunten den Sachverhalt erkennen können; wenn es noch 4 Beobachtende sind, braucht das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, bis einer von denen wahrscheinlich hereinkommt. Dieser kann dann die Freiheit für alle verlangen. Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1195 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre. Ich glaube zwar, es gäbe, neben einer allfälligen Verfeinerung auch dieser Lösung, möglicherweise noch andere Lösungswege (mit individueller Bezeichnung der Gefangenen oder so...). Meine Frage ist also noch nicht endgültig beantwortet. Immerhin ist das aber schon etwas. Für's bisherige Mitmachen ist allen zu danken; besonders für das Stichwort "Erwartungswert", welches mir überhaupt eine Reflexion des Ganzen mittels Mathematik erst ermöglicht: Danke, Ben Sisko! Gruss damdem |
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