Differentialgleichung n-ter Ordnung

15.10.2008, 17:48	Anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung n-ter Ordnung Hallo, ich habe Probleme bei 2 Aufgaben: 1. Bestimmen Sie die Lösung des Systems von Differentialgleichungen 1. Ordnung mit Hilfe einer Differentialgleichung n-ter Ordnung: y'_0 = y_1 y'_1 = y_2 . . . y'_(n-1) = x^m + a_0 mit m \in N und a_0 \in R 2. Skizzieren Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung y' = x/y^2 in R x R*_+ Geben Sie die Lösung y: R -> R mit y(0) = 1 an. Ich weiß nicht wie ich an die Aufgaben ran gehen soll. Ich hoffe jemand kann mir helfen Liebe Grüße Anna
15.10.2008, 20:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2: Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{x}{y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^2 \dd y = x \dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
15.10.2008, 22:41	Anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp Ich hab bisher die Isoklines schon skizierren können, wobei ich auf die Gleichung y= $\begin{eqnarray} \sqrt{x/C} \end{eqnarray}$ komme. Was fange ich aber mit y(0)=1 an? Soll ich dich Gleichung dann einfach integrieren?
15.10.2008, 22:59	Anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Graph geht durch den Punkt (0/1), aber mit welchem c? Anna
15.10.2008, 23:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung der Diff.gl. lautet $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt[3]{\frac{3x^2}{2} + c} \end{eqnarray}$ Auf Grund der angegebenen Randbedingung muss sich für f(0) gleich 1 ergeben. Daraus kannst du c berechnen. mY+
15.10.2008, 23:27	Anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so ist das gemeint. DANKE ^^ Ich hab versucht das Richtungsfeld mit der Isoklinegleichung zu ermitteln, heißt: $\begin{eqnarray} y' = x/y^2 = C \Rightarrow \sqrt{x/C} = y \end{eqnarray}$ was anscheinend der falsche Weg war, oder?? D.h. mit der Lösung der Differentialgl. skizziert man das Richtungsfeld?
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16.10.2008, 00:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Richtungsfeld wird meines (auf diesem Gebiet etwas bescheidenen) Wissens so erstellt, dass die Gesamtheit der Lösungsfunktionen - also mit variiertem Parameter c - gezeichnet wird und in den Kurvenpunkten die jeweiligen Steigungen (Tangenten, mittels der 1 Ableitung) angetragen. Dabei darf die Konstante c noch nicht bestimmt werden, es soll sich ja eine Schar von Funktionen ergeben. Erst im zweiten Aufgabenteil (losgelöst vom Richtungsfeld) war jene Lösungsfunktion gesucht, die durch den Punkt (0; 1) geht (c = 1). Die Isoklinen verbinden letztendlich Punkte, in denen die gleiche Steigung besteht. Dazu muss die 1. Ableitung konstant gesetzt werden. Diese Konstante ist nun NICHT die Integrationskonstante, sondern eine andere, du hast sie C gesetzt. Somit ist für ein bestimmtes C $\begin{eqnarray} y' = \frac{x}{y^2} = C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \sqrt{\frac{x}{C}} \end{eqnarray}$ Wenn du nun darin die Konstante C variierst, erhältst du die Schar der Isoklinen. Funktionenschar: Isoklinenschar: Eine anschauliche Darstellung findest du auch unter http://www.informatik.htw-dresden.de/~mj...u/richtfeld.pdf mY+
16.10.2008, 00:45	Anna	Auf diesen Beitrag antworten »
Hammer! Ich weiß nicht wie ich dir danken kann Das war suuuper hilfreich für mich. Tausend Dank Ganz liebe Grüße und noch eine schöne Nacht Anna

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