Begriff Topologie

15.10.2008, 19:03

zwergnase

Begriff Topologie

Ich habe noch mal eine paar kleine Frage zum Begriff der Topologie:

Ein System $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ von Teilmengen einer Menge X heißt Topologie auf X, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
Jede Vereinigung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ gehört zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ :
1. $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_i\in \mathcal{O}, i \in I \Longrightarrow \bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{O}_i\in \mathcal{O} \end{eqnarray*}$
Jeder Durchschnitt von endlich vielen Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ gehört zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ :
2. $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1,\dots,\mathcal{O}_n \in \mathcal{O} \Longrightarrow \bigcup\limits_{i =1}^{n}\mathcal{O}_i\in \mathcal{O} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} X\in \mathcal{O} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \emptyset \in \mathcal{O} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ Ist dieses I einfach ein beliebiges Intervall der natürlichen Zahlen?
Die Bedingung 3 ist in 1,2 enthalten: $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in \emptyset}\mathcal{O}_i = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{i \in \emptyset}\mathcal{O}_i = X \end{eqnarray*}$ Der Vereinigung von "nichts" ist die leere Menge, das ist mir klar. Aber der Schnitt von "nichts" wieso ist der die Menge selber?

Gruß

15.10.2008, 19:55

papahuhn

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Nein, I ist eine Indexmenge. Die Vereinigung über eine leere Indexmenge ist in der Tat eine Möglichkeit, die leere Menge ohne Punkt 3 zu erzeugen; hab ich noch gar nicht daran gedacht.
Den Durchschnitt über die leere Menge darfst du aber nicht machen, das ist nicht definiert.

15.10.2008, 19:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zwergnase

$\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ Ist dieses I einfach ein beliebiges Intervall der natürlichen Zahlen?

Was soll denn ein Intervall der natürlichen Zahlen sein? So etwas habe ich noch nicht gehört. Nein, das ist damit also ganz sicher nicht gemeint. Dieses $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ soll einfach eine beliebige sogenannte Indexmenge darstellen, mit der du also im Prinzip die Mengen durchzählst. Da man aber beliebige Vereinigungen zulässt, müssen da auch solche dabei sein, bei denen überabzählbar viele Mengen vereinigt werden können. Bei überabzählbar vielen Mengen kann man diese aber nicht mehr durchzählen, deswegen braucht man dann solche allgemeinen Indexmengen.

Das zweite verstehe ich nicht ganz. Warum sollte aus 1. und 2. bereits 3. folgen?

16.10.2008, 16:23

zwergnase

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Hallo,

danke für die Erläuterung mit der Indexmenge. Das steht so in dem Buch aus dem ich die Definition der Topologie habe.

Gruß Wink

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