Problem bei Vollständiger Induktion

15.10.2008, 22:32

bartho

Problem bei Vollständiger Induktion

Kann mir vielleicht jemand bei einem Problem helfen, ich muss einen Beweis mittels Vollständiger Induktion führen nur bringt mich das bei dieser aufgabe zum verzweifeln da ich es mit wurzeln nicht kenne:
Aufgabe $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N , n \geq 2: 1/\sqrt{1} + 1/\sqrt{2} + ... + 1/\sqrt{n} > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Also ich was ich bisher gemacht habe:
Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} 1 + 1/\sqrt{2} > \sqrt{2} \Rightarrow 1,707 > 1,414 \end{eqnarray*}$

Nun kommt der Teil wo ich eigentl. nicht so wirklich weiter weiß?!
Muss ich nun $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 + 1/\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ nehmen?
Jedenfalls egal welches ich nehme ich komme an der Wurzel nicht vorbei um den Therm irgendwie zu zerlegen.
Hilfe

15.10.2008, 22:38

Zizou66

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Wenn du dieses Zeichen hier benutzt " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " dann gilt die Behauptung sogar schon ab n=1

Also, ich stelle es mal so dar:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Du hast also bisher den Induktionsanfang mit n=2 gezeigt.
Jetzt kannst du voraussetzen, dass die Aussage für ein festes n gilt. Nun musst du den Induktionsschluss mit n=n+1 zeigen. Nicht mehr und nicht weniger. Beantwortet das schon deine Frage?

EDIT: Sorry, bin wohl drauf gekommen, weil die Aussage erst ab n=2 gelten soll.

15.10.2008, 22:40

klarsoweit

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RE: Problem bei Vollständiger Induktion
Du mußt in der zu beweisenden Aussage, das ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n} > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

jedes n durch n+1 ersetzen und diese Aussage dann im Induktionsschritt zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

EDIT: irgendwie geht bei mir heute alles langsam. unglücklich

EDIT2: @Zizou66: die Summe geht aber ab k=1. Augenzwinkern

15.10.2008, 22:46

bartho

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RE: Problem bei Vollständiger Induktion

Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt in der zu beweisenden Aussage, das ist also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n} > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

jedes n durch n+1 ersetzen und diese Aussage dann im Induktionsschritt zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

EDIT: irgendwie geht bei mir heute alles langsam. unglücklich

EDIT2: @Zizou66: die Summe geht aber ab k=1. Augenzwinkern

Ja das
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 1} + \frac{1}{\sqrt 2} + ... + \frac{1}{\sqrt n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
habe ich soweit auch verstanden nur das wie ich das am ende zeigen soll ist mir unklar.

15.10.2008, 23:25

Zizou66

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Hmm, ich glaube hier kann man sehr gut dran rumtüfteln. Ist mit Sicherheit ne gute Übung.

Zuerst steht dort ja:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} +\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du leicht die Induktionsvoraussetzung benutzen und zu einer leichter zu beweisenden Form kommen.

15.10.2008, 23:39

bartho

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Also ich komm bis
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}}) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
dannach hab ich GARKEIN schwimmer wie ich das auflösen soll.

EDIT: Es muss ja irgendwie auf beiden Seiten durch irgendwas erweitert werden, sodass der Term wie der Anfangs Term aussieht mit dem unterschied das die erweiterung noch Mulitipliert wird.

16.10.2008, 07:27

Asics

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Edit: Sorry für den Doppelpost hab mich im Morgenstress verdrückt.

EDIT2: Post mit Fehler im Latex gelöscht. (klarsoweit)

16.10.2008, 08:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von bartho
Also ich komm bis
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}}) + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$
dannach hab ich GARKEIN schwimmer wie ich das auflösen soll.

Auf den Klammerausdruck auf der linken Seite kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.

@Asics: du hast kommentarlos einfach was hingeknallt, ohne den mathematichen Sachverhalt zu erläutern. Ohnehin solltest du dich auf helfende Hinweise beschränken. Siehe auch: Prinzip "Mathe online verstehen!"

16.10.2008, 12:25

Asics

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Verzeihung, kann deine Empörung nachvollziehen. Ich werde mich in Zukunft an das Prinzip halten.

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