Wahrscheinlichkeitsdichte

15.10.2008, 22:42

evelin

Wahrscheinlichkeitsdichte

Hallo Leute,

ich habe mal eine Frage zu der Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Zufallsvariable. Stimmt folgende Aussage

$\begin{eqnarray*} 0\leq f(x)\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)\geq0 \end{eqnarray*}$ muss ja stimmen, da es keine negative Dichte geben kann.
Aber meiner Meinung nach kann $\begin{eqnarray*} f(x)\geq1 \end{eqnarray*}$ sein

Nur die Ableitung der Verteilungsfunktion muss $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt mein Gedankengang so?
Kann mir jemand ein Beispiel für eine Dichtefunktion geben, bei der $\begin{eqnarray*} f(x)\geq1 \end{eqnarray*}$ ist?

Viele Grüße

15.10.2008, 23:00

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Zitat:

Original von evelin
Stimmt folgende Aussage

$\begin{eqnarray*} 0\leq f(x)\leq 1 \end{eqnarray*}$

Nein - wie du richtig ahnst, ist die obere Schranke 1 i.a. falsch.

Zitat:

Original von evelin
Nur die Ableitung der Verteilungsfunktion muss $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Nein: Die Verteilungsfunktion selbst - nicht deren Ableitung!

Zitat:

Original von evelin
Kann mir jemand ein Beispiel für eine Dichtefunktion geben, bei der $\begin{eqnarray*} f(x)\geq1 \end{eqnarray*}$ ist?

Kein Problem: Dichte der Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 2 & \;\mbox{für} \; 0\leq x\leq \frac{1}{2} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

15.10.2008, 23:05

evelin

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Vielen Dank

15.10.2008, 23:16

Mathewolf

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Also, sei $\begin{eqnarray*} \Omega\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeistraum und $\begin{eqnarray*} \psi\in\mathcal{C}(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ . Dann gilt folgende Normierungsbedingung:
$\begin{eqnarray*} P(\Omega) = \int\limits_{\Omega}\psi(x)\,dx=1 \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} U\subset\Omega \end{eqnarray*}$ ein Gebiet in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ liegt
$\begin{eqnarray*} 0\leq P(U) = \int\limits_{U}\psi(x)\,dx\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Als recht triveales Beispiel wählen wir die Deltadistribution als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$\begin{eqnarray*} \delta(x-a) = \begin{cases} \infty & \;\mbox{für} \; x=a \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\Omega) = 1 = \int\limits_{\Omega}\delta(x-a)\,dx \end{eqnarray*}$ .

Dies gerade die Definition der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -"Funktion".

Edit: Oh, zu spät ...

15.10.2008, 23:24

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Zitat:

Original von Mathewolf
Als recht triveales Beispiel wählen wir die Deltadistribution als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$\begin{eqnarray*} \delta(x-a) = \begin{cases} \infty & \;\mbox{für} \; x=a \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Du bist Physiker, was? Augenzwinkern

Dein Beispiel ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte im eigentlichen Sinne - die Einpunktverteilung ist ja auch nicht absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes.

15.10.2008, 23:28

Mathewolf

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Jupp, ich bin Physiker smile

Oh, stimmt, das habe ich nicht bedacht, zumal es sich nicht wirklich um eine Funktion handelt ... Hammer

Faßt man die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Funktion als eine solche auf, dann ist das Lebesgue-Maß null und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ somit eine Nullmenge. (daher ein sehr schlechtes Beispiel)

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