kompakt

20.07.2006, 22:33

Sunwater

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kompakt

Hi...

wir hatten in unserer Vorlesung irgendwann mal gehört, dass im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ die kompakten Mengen mit den abgeschlossen und beschränkten Mengen übereinstimmen.

Wie kann man sich jetzt eine kompakte Menge konstruieren, die nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist?

Welche Eigenschaft muss ein Raum haben, damit die beiden Begriffe nicht zusammenfallen?

20.07.2006, 22:42

JochenX

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hmm, interessanterweise sind laut Wikipedia kompakte Mengen nur bei reellen Zahlen. http://de.wikipedia.org/wiki/Kompakte_Menge. Hmmm. Da müsstest du also mal DEINE Definition von kompakter Menge angeben.

Vielleicht hilft dir aber der Link zu http://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter_Raum weiter, da stehen einige nichtnormale Beispiele.
Vielleicht wirst du da ja fündig.
Abgeschlossen muss ein topologischer Raum nach Definition natürlich immer sein (da die leere Menge offen sein muss)....

20.07.2006, 23:01

Sunwater

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wir hatten zwei Definitionen von Kompakt:

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset M \end{eqnarray*}$ heißt kompakt, falls man aus jeder Überdeckung von A durch offene Mengen eine endliche Teilüberdeckung auswählen kann.

zweite Definition:

Eine Teilmenge A von M ist kompakt, genau dann wenn man aus jeder Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ von Punkten $\begin{eqnarray*} x_i \in A \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge auswählen kann, die gegen einen Punkt von A konvergiert.

ich hab auch meine Frage falsch gestellt...

in Wahrheit ist eine kompakte Menge immer abgeschlossen und beschränkt, die Umkehrung haben wir erstmal für den Rn gezeigt und sie soll im allgemeinen nicht gelten.

also bräuchte ich ein Beispiel für eine abgeschlossene und beschränkte Menge, in der eine Folge existiert, bei der keine Teilfolge gegen einen Punkt aus der Menge konvergiert.

20.07.2006, 23:51

gast1

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Hi,

die Einheitskugel in einem beliebigen Banachraum ist natürlich immer beschränkt und abgeschlossen, aber sie ist genau dann kompakt, wenn der Banachraum endlich dimensional ist.

Gruß
gast1

21.07.2006, 00:11

Sunwater

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also z.b. der Raum aller stetigen Funktionen f:[a,b] -> K ... ist doch unendlich dimensional, oder?

dann liegen auf der "Einheitskugel" alle Funktionen mit der Supremumsnorm = 1

wie sehe ich jetzt, dass diese Menge nicht kompakt ist aber trotzdem beschränkt und abgeschlossen ist?

21.07.2006, 01:51

WebFritzi

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Naja, dass sie beschränkt und abgeschlossen ist, sollte klar sein. Die Nichtkompaktheit ist eine Folge des Rieszschen Lemmas. Einen Beweis von beidem findet man hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma

Edit: Link repariert. Ben

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21.07.2006, 01:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von gast1
die Einheitskugel in einem beliebigen Banachraum ist natürlich immer beschränkt und abgeschlossen, aber sie ist genau dann kompakt, wenn der Banachraum endlich dimensional ist.

Es braucht sogar nur ein normierter Raum zu sein.

21.07.2006, 08:52

Sunwater

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also nicht so leicht vorzustellen, aber ist doch gut wenigstens mal ein gegenbeispiel zu kennen...

danke

22.07.2006, 00:18

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
in Wahrheit ist eine kompakte Menge immer abgeschlossen und beschränkt, die Umkehrung haben wir erstmal für den Rn gezeigt und sie soll im allgemeinen nicht gelten.

Das hängt von der Topologie ab. I.A. - d.h. in allgemeinen top. Räumen - stimmt das nicht. (Mehr dazu gibt es in einem Kurs über Topologie.)

Grüße Abakus smile

smile

22.07.2006, 01:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Sunwater
in Wahrheit ist eine kompakte Menge immer abgeschlossen und beschränkt, die Umkehrung haben wir erstmal für den Rn gezeigt und sie soll im allgemeinen nicht gelten.

Das hängt von der Topologie ab. I.A. - d.h. in allgemeinen top. Räumen - stimmt das nicht. (Mehr dazu gibt es in einem Kurs über Topologie.)

Grüße Abakus smile

smile

Was ist denn Beschränktheit in allgemeinen topologischen Räumen?

22.07.2006, 12:44

Abakus

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Zitat:

Was ist denn Beschränktheit in allgemeinen topologischen Räumen?

Beschränktheit lässt sich wohl nur in (pseudo-) metrisierbare Räume rüberretten.

Die andere Implikation - kompakt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ abgeschlossen - wird iA. falsch.

In einem diskreten Raum ist zB jede Menge sowohl beschränkt als auch abgeschlossen, aber keine überabzählbare (und damit nichttriviale) Menge ist kompakt.

Grüße Abakus smile

smile

22.07.2006, 22:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von Abakus
Die andere Implikation - kompakt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ abgeschlossen - wird iA. falsch.

Du meinst wohl eher andersherum, oder?

22.07.2006, 22:57

gast1

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Ist X eine nichtleere Menge mit mindestens 2 Elementen und ist X versehen mit der trivialen Topologie, so ist jede nichtleere echte Teilmenge von X kompakt, aber nicht abgeschlossen.
Er hat also schon recht, diese Implikation ist auch falsch.
In Hausdorffräumen gilt sie aber.

23.07.2006, 09:58

Sunwater

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wir haben aber auch bewiesen, dass kompakte Mengen immer abgeschlossen sind...

ich formuliere mal den Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} A \subset M \end{eqnarray*}$ kompakt.
Behauptung: Jede unendliche Teilmenge B von A besitzt einen Häufungspunkt in A.

Beweis: Angenommen das wäre falsch. Dann ist jeder Punkt von A kein Häufungspunkt von B. Also existiert zu jedem x aus A eine offene Umgebung U(x) mit $\begin{eqnarray*} B \cap U(x) \subset {x} \end{eqnarray*}$
Natürlich ist: $\begin{eqnarray*} A \subset \bigcup_{x \in A} ~ U(x) \end{eqnarray*}$
somit gibt es $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \in A \text{ mit } A \subset \bigcup_{i=1,...,n} ~ U(x_i) \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} B \subset B \cap A \subset \bigcup_{i=1,...,n} ~ B \cap U(x_i) \subset \{ x_1, ... ,x_n \} \end{eqnarray*}$
also wäre B endlich. Das ist ein Widerspruch.

Jetzt der eigentliche Teil:

Sei $\begin{eqnarray*} \{ x_n \} , x_i \in A \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge. Ist $\begin{eqnarray*} {x_n | n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ endlich, dann existiert eine konstante Teilfolge, die trivialerweise konvergiert. Ist aber $\begin{eqnarray*} B= \{x_n | n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ unendlich, dann besitzt B nach dem letzten Satz einen Häufungspunkt in A. Dann kann ich aber auch eine Teilfolge auswählen, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert.

also kann ich aus jeder Folge von Punkten in A ( A ist kompakt ) eine Teilfolge auswählen, die gegen einen Punkt in A konvergiert. Somit ist A abgeschlossen.

Somit dürfte die Implikation von Abakus doch immer richtig sein, oder hat der Beweis eine Vorraussetzung, die nicht immer gilt?

23.07.2006, 13:15

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
Somit dürfte die Implikation von Abakus doch immer richtig sein, oder hat der Beweis eine Vorraussetzung, die nicht immer gilt?

Ja, das gilt eben nicht allgemein. Gast01 hat dazu ein Beispiel genannt. Nochmal:

$\begin{eqnarray*} iA.~ kompakt ~ \not\Rightarrow~ abgeschlossen \end{eqnarray*}$

aber:

$\begin{eqnarray*} (kompakt~ und~ T_2)~ \Rightarrow~ abgeschlossen \end{eqnarray*}$

In deinem Beweis benutzt du neben kompakt noch weitere Voraussetzungen demnach.

Solange du dich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Topologie bewegst, hast du solche Probleme allerdings nicht. Jeder metrische Raum ist bereits Hausdorff ( $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ).

Grüße Abakus smile

smile

23.07.2006, 13:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sunwater
also kann ich aus jeder Folge von Punkten in A ( A ist kompakt ) eine Teilfolge auswählen, die gegen einen Punkt in A konvergiert. Somit ist A abgeschlossen.

Nein. Eine Menge in einem topologischen Raum ist abgeschlossen genau dann, wenn ihr Komplement offen ist. Das, was du hier (u.a.) beweist, ist, dass aus Kompaktheit die Folgenkompaktheit folgt.

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